人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用巩固练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知直线l过点A(1，﹣1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(﹣3，0，4)，则P(3，5，0)到l的距离为( )
A.5 B.14 C.eq \f(14,5) D.eq \f(4,5)
若三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )
A.eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),3)
已知平面α的一个法向量n＝(﹣2，﹣2，1)，点A(﹣1，3，0)在α内，则平面外一点P(﹣2，1，4)到α的距离为( )
A.10 B.3 C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( )
A.eq \f(\r(2),2)a B.eq \f(\r(3),3)a C.eq \r(3)a D.eq \f(2\r(3),3)a
已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cs〈m，n〉＝﹣eq \f(1,2)，则α与β的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面夹角为( )
A.45° B.135° C.45°或135° D.90°
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(30),10) D.eq \f(\r(2),2)
设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，则l与α所成的角为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(5π,6)
若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(﹣2，﹣3，3)，则l与α所成角的余弦值为( )
A.﹣eq \f(4\r(11),33) B.eq \f(4\r(11),33) C.﹣eq \f(\r(913),33) D.eq \f(\r(913),33)
正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A.60° B.90° C.45° D.以上都不对
二、填空题
已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，﹣1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为________.
已知平面α的法向量u＝(1，0，﹣1)，平面β的法向量v＝(0，﹣1，1)，则平面α与β的夹角为________.
如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，eq \(OC,\s\up6(→))＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cs θ＝________.
已知点E，F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 ________.
三、解答题
如图所示，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为eq \f(4,3)，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高.
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离；
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝eq \r(2)AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小.
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点.
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值.
\s 0 答案解析
答案为：C
解析：∵eq \(PA,\s\up6(→))＝(﹣2，﹣6，2)，eq \(PA,\s\up6(→))·n＝(﹣2，﹣6，2)·(﹣3，0，4)＝14 ，|n|＝5，
∴点P到直线l的距离为d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(14,5) .
答案为：D
解析：分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(3),3).
答案为：D
解析：eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，2，﹣4)，则点P到α的距离d＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(10,3).
答案为：D
解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.
则eq \(AC1,\s\up6(—→))＝(a，a，a)，eq \(BC1,\s\up6(—→))＝(0，a，a)，
由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离d＝eq \f(|\(AC1,\s\up6(—→))·\(BC1,\s\up6(—→))|,|\(AC1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(2a2,\r(3)a)＝eq \f(2\r(3),3)a.
答案为：B
解析：设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，则cs θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°.
答案为：A
解析：cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1·\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即〈m，n〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.
答案为：C
解析：如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，
设CA＝CB＝1，则B(0，1，0)，M(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，1)，A(1，0，0)，N(eq \f(1,2)，0，1).故eq \(BM,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，﹣eq \f(1,2)，1)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(﹣eq \f(1,2)，0，1)，所以cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(AN,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(AN,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(30),10).
答案为：C
解析：线面角的范围是[0，eq \f(π,2)].∵〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，∴l与法向量所在直线所成角为eq \f(π,3)，∴l与α所成的角为eq \f(π,6).
答案为：D
解析：设α与l所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(4\r(11),33)，
故直线l与α所成角的余弦值为eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(11),33)))2)＝eq \f(\r(913),33).
答案为：B
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).于是eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，1，0)，取PD的中点E，则E(0，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，∴eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，易知eq \(AD,\s\up6(→))是平面PAB的法向量，eq \(AE,\s\up6(→))是平面PCD的法向量，∴cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(2),2)，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
答案为：A.
解析：不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，则eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(﹣2，2，1)，eq \(C1B,\s\up6(—→))＝(0，﹣2，1)，所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(—→))，eq \(C1B,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(—→))·\(C1B,\s\up6(—→)),|\(AB1,\s\up6(—→))||\(C1B,\s\up6(—→))|)＝eq \f(－2×0＋2×－2＋1×1,\r(9)×\r(5))＝﹣eq \f(\r(5),5).所以所求角的余弦值为eq \f(\r(5),5).
答案为：B
解析：以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.
由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，
所以eq \(A1E,\s\up6(—→))＝(0，1，﹣1)，eq \(D1E,\s\up6(—→))＝(1，1，﹣1)，eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，﹣1，﹣1).
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1E,\s\up6(→))＝0，,n·\(D1E,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,x＋y－z＝0，))令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0，1，1)，
cs〈n，eq \(EA,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(EA,\s\up6(→)),|n||\(EA,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,\r(2)·\r(2))＝﹣1，设直线与平面A1ED1所成角为θ，则sin θ＝1，
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
二、填空题
答案为：eq \f(\r(2),2).
解析：因为eq \(PA,\s\up6(→))＝(﹣2，0，﹣1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
答案为：eq \f(π,3)
解析：∵cs〈u，v〉＝eq \f(－1,\r(2)×\r(2))＝﹣eq \f(1,2)，∴〈u，v〉＝eq \f(2,3)π，∴平面α与β的夹角是eq \f(π,3).
答案为：eq \f(2,3).
解析：cs θ＝eq \f(\(OC,\s\up6(→))·n,|\(OC,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(4,2×3)＝eq \f(2,3).
答案为：eq \f(3\r(11),11).
解析：如图，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0，0，1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).所以A(1，0，0)，E(1，1，eq \f(1,3))，F(0，1，eq \f(2,3))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，1，eq \f(1,3))，eq \(EF,\s\up6(→))＝(﹣1，0，eq \f(1,3))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n2·\(EF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋\f(1,3)z＝0.))取x＝1，则y＝﹣1，z＝3.故n2＝(1，﹣1，3).
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(3\r(11),11).所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为eq \f(3\r(11),11).
三、解答题
解：设正四棱柱的高为h(h＞0)，建立如图所示的空间直角坐标系，
有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，
则eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(1，0，﹣h)，eq \(AD1,\s\up6(—→))＝(0，1，﹣h)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，1，0)，
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))＝0，,n·\(AD1,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－hz＝0，,y－hz＝0，))
取z＝1，得n＝(h，h，1)，
所以点C到平面AB1D1的距离为d＝eq \f(|n·\(AC,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(h＋h＋0,\r(h2＋h2＋1))＝eq \f(4,3)，
解得h＝2.故正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高为2.
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
直线AC1的一个单位方向向量为s0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq \(AM,\s\up6(→))＝(2，0，1)，
故点M到直线AC1的距离d＝eq \r(|\(AM,\s\up12(→))|2－|\(AM,\s\up6(→))·s0|2\(\s\up7( ),\s\d4()))＝eq \r(5－\f(1,2))＝eq \f(3\r(2),2).
(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\(A1M,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y＝0，,2x－z＝0，))
取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，
因为N(1，1，0)，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝(﹣1，1，﹣1)，
故N到平面MA1C1的距离d＝eq \f(|\(MN,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).
解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
所以eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(2，0，﹣2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，2，1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1，1，0).
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＋c＝0，,a＋b＝0，))令a＝1可得n＝(1，﹣1，2).
设A1B与平面AEF所成角为θ，所以sin θ＝|cs〈n，eq \(A1B,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|n·\(A1B,\s\up6(—→))|,|n||\(A1B,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(3),6)，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为eq \f(\r(3),6).
解：以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(2，0，﹣4)，eq \(C1D,\s\up6(—→))＝(1，﹣1，﹣4)，∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(C1D,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(—→))·\(C1D,\s\up6(—→)),|\(A1B,\s\up6(—→))||\(C1D,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3\r(10),10)，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为eq \f(3\r(10),10).
(1)证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
设AB＝a，PD＝h，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，h)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(﹣a，a，0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，0，h)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，
又DP∩DB＝D，DP，DB⊂平面PDB，
∴AC⊥平面PDB，
又AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)解 当PD＝eq \r(2)AB且E为PB的中点时，
P(0，0，eq \r(2)a)，E(eq \f(1,2)a，eq \f(1,2)a，eq \f(\r(2),2)a)，设AC∩BD＝O，O(eq \f(1,2)a，eq \f(1,2)a，0)，
连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)a，﹣eq \f(1,2)a，﹣eq \f(\r(2),2)a)，eq \(EO,\s\up6(→))＝(0，0，﹣eq \f(\r(2),2)a)，∴cs∠AEO＝eq \f(\(EA,\s\up6(→))·\(EO,\s\up6(→)),|\(EA,\s\up6(→))|·|\(EO,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°.
解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(1)A1(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，eq \f(1,2)a，0)，
∴eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(a，a，﹣a)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(a，﹣eq \f(1,2)a，0)，∴cs〈eq \(A1C,\s\up6(—→))，eq \(DE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1C,\s\up6(—→))·\(DE,\s\up6(→)),|\(A1C,\s\up6(—→))||\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(15),15)，
故A1C与DE所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.
又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0，0，0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，得eq \(DA,\s\up6(→))＝(0，﹣a，0)，eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(a，﹣a，a)，
∴cs〈eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(DA,\s\up6(→))·\(DB1,\s\up6(—→)),|\(DA,\s\up6(→))||\(DB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(3),3)，又直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3).
(3)由已知得A(0，0，0)，A1(0，0，a)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，E(a，eq \f(1,2)a，0)，
则eq \(ED,\s\up6(→))＝(﹣a，eq \f(1,2)a，0)，eq \(EB1,\s\up6(→))＝(0，﹣eq \f(1,2)a，a)，平面ABCD的一个法向量为m＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＝(0，0，a).
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(ED,\s\up6(→))＝0，,n·\(EB1,\s\up6(—→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝1，))∴n＝(1，2，1)，∴cs〈n，m〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(\r(6),6)，
∴平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).