数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步练习题

用空间向量研究距离、夹角问题同步练习

一、选择题

1. 已知空间中三点0，，1，，，则点C到直线AB的距离为   ．

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，，则与平面所成角的大小为（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知平面的一个法向量为2，，点3，在平面内，则点1，到平面的距离为（ ） 

A.  B.  C. 1 D.

4. 在棱长均为的正四面体ABCD中，M为AC的中点，E为AB的中点，P是DM
   上的动点，Q是平面ECD上的动点，则的最小值是（ ）

A.  B.  C.  D.

5. 四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高为   

A.  B.  C.  D.

6. 如图，正方体中，E是棱BC的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值t构成的集合是（ ）
    

A.  B.
C.  D.

7. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱、的中点，M为棱上的一点，且，设点N为ME的中点，则点N到平面的距离为（ ）
   
    

A.  B.  C.  D.

8. 长方体中，，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为       

A.  B.  C.  D.

9. 在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是（ ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知平面的一个法向量，点3，在平面内，则1，到的距离为（ ）

A. 10 B. 3 C.  D.

11. 在长方体中，，，，过点B作直线l与直线及直线所成的角均为，这样的直线l的条数为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12. 已知四边形ABCD为等腰梯形，，，将沿AC折起，使D到的位置，当时，异面直线AB与直线所成角的正切值为   

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为______．
14. 如图，在长方体中，，，点E在棱AB上若二面角的大小为，则__________．
     
15. 在矩形ABCD中，，，沿对角线BD翻折，形成三棱锥．
    当时，三棱锥的体积为；
    当面面BCD时，；
    三棱锥外接球的表面积为定值．
    以上命题正确的是______．
16. 已知正方体的棱长为6，点M是对角线上靠近点的三等分点，则三棱锥的体积为______．
    
     
17. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足，E.
    若P，Q均在平面内，则PQ与BD的位置关系是______；
    的最小值为______．

三、解答题

18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，且，M，N分别为棱PC，AD的中点．
    求证：；
    求异面直线BM与PN所成角的余弦值；
    求点N到平面MBD的距离．
    
    
    
    
     
19. 如图，在几何体中，底面，，，，，，，，，设点在棱上，已知平面．

求线段的长度；

求二面角的余弦值．



 

20. 如图，在几何体中，底面ABCD，，，，，，，，，设点M在棱DC上，已知平面FBDH．
     

求线段DM的长度；

求二面角的余弦值．






 

21. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，，．
     

求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；

求点P到平面DEF的距离．

求点P到直线EF的距离．


答案和解析

1.【答案】A
【解答】
解：由题意，可得1，，，
，，
，
，，
所以点C到直线AB的距离
，．
故选A．
2.【答案】A
【解答】
解：以B为原点，在平面ABC中，过B作BC的垂线为x轴，以BC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

1，，，0，，2，，
0，，2，，，
设平面的法向量y，，
则
取，得0，，
设与平面所成角的大小为，
则．
，．
与平面所成角的大小为．
故选：A．
3.【答案】A

【解析】解：面的一个法向量为2，，
点3，在平面内，点1，，
，
点1，到平面的距离为：
．
4.【答案】A
 

【解析】解：由题意，平面平面ABC，
又平面平面，过M作，
则平面CDE，连接DG，则DG为DM在平面CDE上的射影，
要使最小，则，沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG重合，
则的最小值为A到DG的距离．

，，则，
，
，

．
又，．
5.【答案】A
【解答】
解：设面ABCD的法向量为，


令，则，
，
设与的夹角为，设四棱锥的高为h，
，
，
故选A．
6.【答案】D

【解答】

解： 建立如下图所示的空间坐标系，

由，

由已知设1，，

所以，

设平面的法向量为，

由已知有，

令，则，

所以由平面得，

即，

所以，

因为平面的法向量为，

所以与平面所成角的正弦值，

正切值，

令，

则，

所以．

故选D．
7.【答案】D
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则0，，，，0，，2，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
点N到平面的距离为．
故选D．
8.【答案】A
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，1，，0，，0，，1，，1，，
，0，，1，，
设平面的法向量为y，，
则
取，得2，，
设直线与平面所成角的余弦值为，
则，
，
异面直线与平面所成角的余弦值为，
故选A．
9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离．
【解答】
解：在三棱锥中，底面ABC，，，，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则4，，4，，0，，
0，，
4，，0，，
4，，
设平面PAB的法向量y，，
则，
取，得，
点C到平面PAB的距离．
故选：B．
10.【答案】D
【解答】
解： 3，，1，，
，
又平面的一个法向量，点A在内，
点P到的距离为．
故选D．
11.【答案】C
【解答】
解：以D为原点，DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立如图坐标系，

因，，
则0，，，，，
所以，，
所以直线及直线所成的角余弦值为，
所以直线及直线所成的角为，
设过点B的直线方向向量为，，要使与的夹角均为，当，共面时有一种情况，当，时有两种情况，
所以过点B可作3条直线与直线及直线所成的角均为，
故选C．
12.【答案】C
【解答】
解：因为四边形ABCD为等腰梯形，，．
易知，，记AC的中点为E，则，，．
翻折后，，，．
设二面角的大小为，因为，
由，两边平方得，
得，则二面角的大小为．
从点向平面ABC作垂线，垂足为O，
以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
则，，
则，
则
故．
故选C．
13.【答案】4

【解析】解：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则0，，2，，0，，故，
设平面的一个法向量为，则，可取，
故，
又直线与平面所成角的正弦值为，
，解得．
故答案为：4．
建立空间直角坐标系，设棱柱的高为a，求出平面的一个法向量，令，求出a的值即可．
14.【答案】
【解答】
解：以点D为坐标原点，分别以DA、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设．

则0，，0，，a，，0，，2，．
a，，
2，，
0，．
设平面的法向量为
x，y，z，
由，，
可得，，
即，
令，则，．
a，1，．
平面ABCD，
可取作为平面ABCD的法向量．
由题意可得，即，解得a．
其中2不符合题意，应舍去，a．
AE．

故答案为．

15.【答案】
 

【解析】解：在矩形ABCD中，，，
，
沿对角线BD翻折，形成三棱锥．
在中，取BD中点O，连结AO，CO，则，
当时，，
，
点A到平面BCD的距离．
三棱锥的体积为：
，故错误；
在中，当面面BCD时，过点A作平面BCD，交BD于E，
则，又CD与平面ABD不垂直，故AB与CD不垂直，故错误；
在中，，
三棱锥外接球的球心为O，半径为，
三棱锥外接球的表面积为定值．故正确．
故答案为：．
在中，取BD中点O，连结AO，CO，则，当时，，从而，点A到平面BCD的距离由此能求出三棱锥的体积；在中，过点A作平面BCD，交BD于E，则，又CD与平面ABD不垂直，故AB与CD不垂直；在中，三棱锥外接球的球心为O，半径为，从而三棱锥外接球的表面积为定值．
16.【答案】24
 

【解析】解：点M是对角线上靠近点的三等分点，
到底面的距离，
又，
．
故答案为：24．
17.【答案】平行； 
 

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，1，，1，，
，Q均在平面内，设b，，n，，
则1，，，，
，E.
，
解得，，即PQ与BD的位置关系是平行．
当取最小值时，P在平面内，
设b，，由得，

，
当，即时，的最小值为．
故答案为：平行；．
18.【答案】证明：由题可知，侧面底面ABCD，取DC中点O，
因为，则交线CD，所以底面ABCD，
如图，过O平行于DA直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则，1，，1，，
，0，，，
，
则，所以；
解：由可得，，

设异面直线BM与PN所成角为，
则．
所以异面直线BM与PN所成角的余弦值为；
解：因为．
设平面MBD的一个法向量为y，，
由，得，取，得，．
所以，又，
所以点N到平面MBD的距离．
19.【答案】解：以D为坐标原点，射线DA，DC，DH为x，y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，，，，易知，
则0，，1，，2，，0，，0，，1，，
设t，，因为平面FBDH，所以，
t，，，，解得，
所以线段DM的长度为1，
设y，是平面HAM的一个法向量，0，，0，，
则，可取2，，
同理，设v，是平面AMF的一个法向量，
则，可取1，，
则，，显然二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．

20.【答案】解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
 

由，，，，，易知．

则0，，1，，2，，0，，0，，1，

设t，，
因为平面FBDH，平面FBDH，，
所以，

，，，
解得，所以线段DM的长度为1．

设是平面HAM的一个法向量，
，，
则或取，

同理，设是平面AMF的一个法向量，

则，可取，
则，
显然二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．

21.【答案】解：如图所示，

以A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

由，，得0，，0，，1，，0，，，，．

设平面DEF的法向量y，，

则即

解得

取，则平面DEF的一个法向量0，．

设PA与平面DEF所成的角为，

则sin ，

故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为．

，0，，

点P到平面DEF的距离．
，，
点P在上的投影为，
所以点P到直线EF的距离为．