2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末调研测试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末调研测试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r(如下)，则线性相关性最强的是
A. −0.87B. 0.72C. −0.78D. 0.85
2.在空间直角坐标系O−xyz中，点(−1,2,3)关于x轴的对称点坐标是
A. (1,2,3)B. (−1,−2,3)C. (−1,−2,−3)D. (1,−2,−3)
3.已知(x−2)8=a0+a1(x−1)+…+a8(x−1)8，则a0+a1+…+a8=
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是
A. 24B. 48C. 96D. 120
5.已知函数f(x)=tanx，那么f′π3的值是
A. ​33B. ​3C. 2D. 4
6.已知随机变量X，Y满足：X～B(4,p)，P(X=0)=1681，X+2Y=1，则( )
A. E(X)=23B. E(Y)=−13C. D(X)=49D. D(Y)=29
7.给出下列四个命题，其中真命题是
A. 若向量a与向量b，c共面，则存在实数x，y，使a=xb+yc
B. 若存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，则点P，M，A，B共面
C. 直线a的方向向量为a=(1,0,−1)，平面α的法向量为m=(1,1,1)，则a⊥α
D. 若平面β经过三点P(−1,2,0)，Q(1,0,−1)，T(0,1,0)，向量n=(1,x,y)是平面β的法向量，则x+y=2
8.若函数f(x)=aex−x2有两个极值点x1,x2，且x1A. x2>1B. ex2<1x1C. a的范围是(0,2e)D. lnx1+lnx2<0
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.A，B分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是
A. P(A|B)+P(A|B)=1
B. 若P(A)>0，P(B)>0，则P(A)+P(B)=P(A+B)
C. 若P(A|B)=P(A)，则A与B独立
D. P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=P(A)
10.已知函数f(x)=13x3−ax2−x，下列选项正确的是
A. 若f(x)在区间(0,2)上单调递减，则a的取值范围为(34,+∞)
B. 若f(x)在区间(0,2)上有极小值，则a的取值范围为(−∞,34)
C. 当a=0时，若经过点M(2,m)可以作出曲线y=f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为(−2,23)
D. 若曲线y=f(x)的对称中心为(1,−53)，则a=1
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F在底面ABCD内运动(含边界)，点E是棱CC1的中点，则
A. 若F在棱AD上时，存在点F使cs∠D1B1F=56
B. 若F是棱AD的中点，则EF//平面AB1C
C. 若EF⊥平面B1D1E，则F是AC上靠近C的四等分点
D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线B1E的距离最小值为25 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面α过点A(0,1,0)，其法向量为m=(0,2,1)，则点B(1,1,1)到平面α的距离为 ．
13.从集合U={a1,a2,a3,a4}的子集中选出2个不同的子集A，B，且A⊆B，则一共有 种选法．
14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球．先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒．记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则P(B|A)= ，P(AB)= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，如表数据：
(1)求a，b的值，并判断是否有90％的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？
(2)经调查，学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x(单位：拾分钟)呈线性相关关系，统计数据见下表，求y关于x的线性回归方程．
附：(1)χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
16.(本小题12分)
已知f(x)=(2+x)n(n≥3,n∈N∗)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)求f(0.001)的近似值(精确到0.01)；
(3)求(2+x)n的二项展开式中系数最大的项．
17.(本小题12分)
如图，所有棱长均为2的正四棱锥P−ABCD，点M，N分别是PA，BD上靠近P，B的三等分点．
(1)求证：MN⊥BC；
(2)求二面角M−CN−B的余弦值．
18.(本小题12分)
某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知甲同学每次投进的概率为13，乙同学每次投进的概率为23，且甲、乙每次投篮相互独立．
(1)求甲最后得3分的概率；
(2)记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望；
(3)记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求P(B)．
19.(本小题12分)
定义：如果函数y=f (x)与y=g(x)的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数y=f (x)和y=g(x)具有“伙伴”关系．
(1)判断函数f (x)=9x−4与g(x)=3x+1是否具有“伙伴”关系；
(2)已知函数f (x)=lnx−ax−1，x∈(1,+∞)，a>0，g(x)=1−ax+2a．
①若两函数具有“伙伴”关系，求a的取值范围；
②若两函数不具有“伙伴”关系，求证：1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n+14n>ln2，其中n为正整数．
答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.D
6.D
7.B
8.B
9.ACD
10.BD
11.BCD
12. 55
13.65
14.12；29
15.解：(1) 由题意得a+b=60a+3b=100，解得a=40,b=20，
假设 H0: 认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，
χ2=100×40×20−20×20260×40×40×60=259≈2.778>2.706，
所以根据 α=0.1 的独立性检验，认为 H0 不成立，
即认为学生的性别与喜欢运动有关联；
(2)由题意得 x=4,y=4,i=15xi2=90,i=15xiyi=89 ，
b=89−5×4×490−5×42=0.9 ， a=4−0.9×4=0.4 ，
∴ 回归方程为 y=0.9x+0.4．

16.解：(1)∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，
∴ Cn1+Cn3=2Cn2 ，整理得 n2−9n+14=0，
解之，得 n=2,n=7 ，又∵ n≥3 ，∴ n=7;
(2) f(0.001)=(2+0.001)7≈C7027+C7126⋅0.001+C7225⋅(0.001)2
=128.448672≈128.45;
(3) Tr+1=C7r27−rxr
依题意得 Tr≤Tr+1,Tr+1≥Tr+2 ，
即 C7r−1⋅28−r≤C7r⋅27−rC7r+1⋅26−r≤C7r⋅27−r
解之， 53≤r≤83 ，
又∵ r∈N∗ ，∴ r=2
故展开式中系数最大得项为T3=C72⋅25x2=672x2．
17.解：连接 AC 交 BD 于 O ，建立如图所示的空间直角坐标系
则 A 2,0,0 ， B0, 2,0
C− 2,0,0 ， D0,− 2,0 ， P0,0, 2 ， M 23,0,2 23 ， N0, 23,0
(1) ∴ MN=− 23, 23,−2 23 ，BC=− 2,− 2,0 ，
∴BC⋅MN=0，
∴BC⊥MN;
(2) MN=− 23, 23,−2 23 ， CN= 2, 23,0 ，
设平面 MCN 的法向量为m=(x,y,z) ，则
m⋅MN=0 ，m⋅CN=0 ，取x=−1，解得：m=(−1,3,2)，
设平面 BCN 的法向量为n=(0,0,1) ，
设二面角 M−CN−B 的平面角为 θ ，
|cs θ|=|cs|=2 14= 147，
∴ 由图可知二面角 M−CN−B 的余弦值为 − 147。
18.解：(1)记事件 A 为“甲得3分”， P(A)=3×(13)2×(23)2=427;
(2) X 的取值为0，1，2，3，4，6，10，
P(X=0)=(23)4=1681，
P(X=1)=4×13×(23)3=3281，
P(X=2)=3×(13)2×(23)2=1281，
P(X=3)=3×(13)2×(23)2=1281，
P(X=4)=2×(13)3×23=481，
P(X=6)=2×(13)3×23=481，
P(X=10)=(13)4=181，
E(X)=14281;
(3)记Y 为乙最后得分，则事件B 为“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，
“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”，
P(Y=6)=2×(23)3×13=1681，
P(Y=4)=2×(23)3×13=1681 ，
P(Y=3)=3×(23)2×(13)2=1281，
P(Y=1)=4×(13)3×23=881，
故 P(B)=3281×1681+1281×1681+481×1281+481×881=7846561．
19.解：(1)函数f(x)与g(x)具有“伙伴”关系，理由如下：
根据定义，若f(x)与g(x)具有“伙伴”关系，
则在f(x)与g(x)的定义域的交集上存在x，使得f(x)+g(x)=0．
所以9x−4+3x+1=0，即(3x+4)( 3x−1)=0，解得x=0，
所以f(x)与g(x)具有“伙伴”关系．
(2)函数f(x)=lnx−ax−1，x∈(1,+∞)，a>0，g(x)=1−ax+2a
令ℎ(x)=f(x)+g(x)=lnx−ax−a−1x+2a−1，x∈(1,+∞)，a>0，
ℎ ′(x)=1x−a+a−1x2=(x−1)[ 1−a(x+1)]x2，
①两函数具有“伙伴”关系，则函数ℎ(x)在(1,+∞)上有零点．
当a≥12时，ℎ ′(x)<0，所以ℎ(x)在(1,+∞)上递减，
所以ℎ(x)<ℎ(1)=0，此时函数ℎ(x)无零点，不符合题意.
当0且x∈(1,1a−1)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，ℎ(1a−1)>0
当x>1时，函数y=lnx−x的导函数y ′=1x−1=1−xx，所以该函数在(1,+∞)上递减，
所以y此时，ℎ(x)=lnx−ax−a−1x+2a−1<2 x−ax−a−11+2a−1=−ax+2 x+a
取 x0= a2+1+1a所以ℎ(x0)<−a( a2+1+1a)2+2 a2+1+1a+a=0
从而ℎ(1a−1) ℎ(x0)<0，又函数ℎ(x)图象在(1a−1,+∞)上连续不间断，
由零点存在定理可得，函数ℎ(x)在(1a−1,+∞)上存在唯一零点，
即存在x1∈(1,+∞)，使得ℎ(x1)=0，
综上可得，若两函数具有“伙伴”关系， a的取值范围为(0,12) ；
②由①可得若两函数不具有“伙伴”关系，a的取值范围为[12,+∞)，
且当a=12时，恒有ℎ(x) <0成立，即 lnx≤12x−1x 在(1,+∞)恒成立，
所以当 x=n+1n 时，可得 lnn+1n<12n+1n−nn+1=121n+1n+1，
同理 lnn+2n+1<121n+1+1n+2 ， lnn+3n+2<121n+2+1n+3 ，
⋯⋯ ， lnn+nn+n−1<121n+n−1+1n+n。
两边分别累加得：
lnn+1n+lnn+2n+1+⋯+lnn+nn+n−1
<121n+1n+1+1n+1+1n+2+⋯+1n+n−1+1n+n，
即 lnn+1n×n+2n+1×⋯×n+nn+n−1<12n+1n+1+1n+2+⋯+1n+n−1+14n，
即 1n+1+1n+2+1n+3+⋯+1n+n+14n>ln2．
男学生
女学生
合计
喜欢运动
a
b
60
不喜欢运动
b
b

合计
60

100
x
2
3
4
5
6
y
2.5
3
3.5
5
6
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
4
6
10
P
1681
3281
1281
1281
481
481
181