2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高三（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高三（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B=N，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {0,1,2,3}
2.已知复数z满足( 3+i)z+i= 3，则复数z−=( )
A. 12− 32iB. 12+ 32iC. 32−12iD. 32+12i
3.已知a，b∈R，则“2−ab2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知y=f(x)，x∈R为奇函数，当x>0时，f(x)=lg2x−1，则集合{x|f(−x)−f(x)1)，则g′(x)=x−1x2>0，
则函数g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(1)=2，故a≤2，
即a的取值范围是(−∞,2]．
16.解：(1)f(A)=m⋅n=4sinA⋅cs(−π3)csA+sin(−π3)⋅2cs2A
=sin2A− 3cs2A=2sin(2A−π3)，
因为A∈[π4,5π6]，
所以2A−π3∈[π6,4π3]，
所以当2A−π3=4π3，
即A=5π6时，f(A)有最小值− 3；
(2)因为f(A)=0，
所以2sin(2A−π3)=0，
所以2A−π3=kπ,k∈Z，
因为A∈[π4,5π6]，
所以A=2π3，
由正弦定理，bsinB=csinC=asinA= 3 32=2，
所以sinB=b2,sinC=c2，
又因为sinB+sinC= 62，
所以b2+c2= 62，
得b+c= 6，
由余弦定理有：a2=b2+c2−2bccsA，
所以bc=3．
所以S△ABC=12bcsinA=12×3× 32=3 34．
17.(1)证明：取PB中点M，连接MF，MA，

因为F为PC中点，所以MF/​/BC，且MF=12BC，
又四边形ABCD为菱形，且E为AD中点，所以AE/​/BC，且AE=12BC，
所以MF//AE，且MF=AE，
所以四边形AMFE为平行四边形，
所以EF/​/AM，
又AM⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
所以EF/​/平面PAB．
(2)解：连接AC与BD，交于点O，

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC，BD的中点，
又PB=PD，所以PO⊥BD，
因为AC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O，
所以BD⊥平面PAC，
又BD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAC，
所以直线PA在平面ABCD内的射影是AC，
所以∠PAO为直线PA与平面ABCD所成的角的平面角，即∠PAO=60°，
又AB=2，PA⊥PC，∠BAD=60°，
所以AC=2 3,BD=2,PA= 3,∠POA=60°，
以O为原点，直线OB、OC所在直线分别为x、y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),P(0,− 32,32)，
所以PB=(1, 32,−32),BC=(−1, 3,0)，
易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅PB=0m⋅BC=0⇒x+ 32y−32z=0−x+ 3y=0，
令x=3，得y= 3,z=3，所以m=(3, 3,3)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=3 21×1= 217，
故二面角P−BC−D的余弦值为 217．
18.解：(1)设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，
则P(AB)=C41C21C62=815，P(A)=C41C21+C22C62=35，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=81535=89．
(2)依题意知X服从超几何分布，且P(X=k)=C2kC42−kC62(k=0,1,2)，
P(X=0)=C42C62=25，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C22C62=115，
所以X的分布列为：
E(X)=0×25+1×815+2×115=23．
(3)设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，
则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，
P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(X1)=3×12+6×12=92，
P(X2=6)=P(X2=9)=12，E(X2)=6×12+9×12=152，
有X名女教师参加活动，则男教师有2−X名参加活动，
Y=92X+152(2−X)=15−3X，
所以E(Y)=E(15−3X)=15−3E(X)=15−3×23=13．
即两个教师得分之和的期望为(13分)．
19.解：(1)因为e=ca=12，所以a=2c，又b2=a2−c2，则b= 3c，
即椭圆方程为x24c2+y23c2=1，
因为S△AF1F2=bc= 3c2= 3，所以c2=1，
即c=1，则a=2，b= 3，
故椭圆方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知，a=2c，b= 3c，得△AF1F2为正三角形，

则由DE⊥AF2，得直线DE为线段AF2的垂直平分线，
所以DA=DF2且EA=EF2，
则△ADE的周长为AD+AE+DE=DF2+EF2+DE=DF2+EF2+(DF1+F1E)
=(DF1+DF2)+(EF1+EF2)=4a=8．
(3)①当直线OD，OE的斜率一条为零，另一条不存在时，△DOE的面积为12ab= 3，
②当直线OD，OE的斜率存在且不为零时，设直线OD：y=kx，

与椭圆联立消去y，得3x2+4(kx)2=12，
即x2=124k2+3，则y2=12k24k2+3，
则OD2=124k2+3+12k24k2+3=12(k2+1)4k2+3，
同理可得，OE2=12(k2+1)3k2+4，
故△DOE的面积为12×OD×OE=6(k2+1) 4k2+3⋅ 3k2+4
=6(k2+1) 12k4+25k2+12=6(k2+1) 12(k4+2k2+1)+k2=6 12(k4+2k2+1)+k2k4+2k2+1=6 12+k2k4+2k2+1=6 12+1k2+1k2+2∈[127, 3),
当且仅当k2=1k2，即k=±1时取最小值，
综上，△DOE的面积的取值范围为[127, 3]． X
0
1
2
P
25
815
115