2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）若直线与平行，则实数等于　　

A．1 B． C．4 D．0

2．（5分）双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知圆过点，，圆心在轴上，则圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）函数在，上单调递增，则的取值范围是　　

A．， B． C． D．

5．（5分）数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是　　

A．1024 B．256 C．2 D．512

6．（5分）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为　　

A． B． C． D．

7．（5分）设集合，集合，，当有且仅有一个元素时，则的取值范围为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

8．（5分）已知，为正数，，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）下列说法错误的是　　

A．点到直线的距离为 

B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 

C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

10．（5分）下列说法中正确的有　　

A． 

B．已知函数在上可导，且（1），则 

C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4 

D．已知函数，则函数的图像关于原点对称

11．（5分）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“峰值”， 是数列的“峰值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“峰值点”？ 　　

A．1 B．3 C．6 D．12

12．（5分）已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是　　

A．双曲线的离心率为 B．△的面积为 

C．△内切圆半径为 D．△的内心在直线上

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知数列是等差数列，若，，则　　．

14．（5分）已知椭圆的左、右焦点为，，过作轴垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 　　．

15．（5分）已知双曲线的方程为，，，双曲线上存在一点，使得，则实数的最大值为 　　．

16．（5分）已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为 　　．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．求：

（1）弦的长；

（2）△的周长．

18．（12分）已知数列的首项，其前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，且，求．

19．（12分）已知函数．

（1）若，求函数在，（1）处的切线方程；

（2）讨论函数在，上的单调性．

20．（12分）已知圆，是圆上一点，过作直线交圆于另一点，交轴正半轴于点，且为的中点．

（1）求圆在点处的切线方程；

（2）求直线的方程．

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，．点满足．记的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）直线经过点，与轨迹分别交于点、，与直线交于点，求证：．

22．（12分）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省南京市六校联合体高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）若直线与平行，则实数等于　　

A．1 B． C．4 D．0

【解答】解：直线与平行，

，

，

故选：．

2．（5分）双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，

其中焦点在轴上，且，，

则其渐近线方程为：，

故选：．

3．（5分）已知圆过点，，圆心在轴上，则圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：设圆心，由，可得，

求得，可得圆心，半径为，

故圆的方程为，

故选：．

4．（5分）函数在，上单调递增，则的取值范围是　　

A．， B． C． D．

【解答】解：，

函数在区间，单调递增，

在区间，上恒成立，

，

而在区间，上单调递减，

，

的取值范围是：，，

故选：．

5．（5分）数列是等比数列，是其前项之积，若，则的值是　　

A．1024 B．256 C．2 D．512

【解答】解：数列是等比数列，是其前项之积，，

，解得，

．

故选：．

6．（5分）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，分别过，作准线的垂线，交准线于，，

设，由已知可得，

由抛物线的定义可得，则，

在直角三角形中，因为，，，

所以，解得，，

所以，因此抛物线的方程为．

故选：．

7．（5分）设集合，集合，，当有且仅有一个元素时，则的取值范围为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

【解答】解：集合，表示以原点为圆心，半径等于2的半圆上的部分），

集合表示以为圆心，半径等于的圆上，

当圆经过点时，此时只有一个交点，，

当圆经过点时，此时恰有两个交点，即，

当圆与半圆内切时，只有一个交点，即．

综上所述的取值范围为，．

故选：．

8．（5分）已知，为正数，，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：令，

则函数在上是增函数，

，

，

即，

即（b），故，

故选：．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）下列说法错误的是　　

A．点到直线的距离为 

B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 

C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【解答】解：对于，点到直线的距离为，选项错误；

对于，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，如与轴垂直的直线，所以选项正确；

对于，直线与两坐标轴的交点为和，与两坐标轴围成的三角形面积是，选项错误；

对于，直线过原点时，过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，

直线不过原点时，过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，所以选项错误．

故选：．

10．（5分）下列说法中正确的有　　

A． 

B．已知函数在上可导，且（1），则 

C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4 

D．已知函数，则函数的图像关于原点对称

【解答】解：，错误，

（1），（1），正确，

质点的运动方程为，，该质点在时的瞬时速度是，正确，

，，函数的图像关于轴对称，错误，

故选：．

11．（5分）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“峰值”， 是数列的“峰值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“峰值点”？ 　　

A．1 B．3 C．6 D．12

【解答】解：因为，所以，

，只有，，所以“3”是“峰值点”，其它选项不是．

故选：．

12．（5分）已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是　　

A．双曲线的离心率为 B．△的面积为 

C．△内切圆半径为 D．△的内心在直线上

【解答】解：对于，设△的内心为，过作，，的垂线，垂足分别为，，，如图

则，所以，则△的内心在直线上，故正确；

因为为等边三角形，当，都在同一支上时，则垂直于轴，可得，

由题意可得，又，，

所以可得，，解得：；

△的面积，

设△内切圆的半径为，

则由等面积法可得，；

当，都在双曲线的左，右两支上时，设，

，由双曲线的定义可知，得，

在△中由余弦定理，，得，

△的面积，

设内切圆的半径为，则，得，故错误；

而不论什么情况下△的面积为，故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知数列是等差数列，若，，则　8　．

【解答】解：数列是等差数列，

，，也是等差数列，

又，，

．

故答案为：8．

14．（5分）已知椭圆的左、右焦点为，，过作轴垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 　　．

【解答】解：由椭圆的方程可得，，

因为过作轴垂线交椭圆于点，设在第一象限，则的横坐标为，代入椭圆的方程可得，即，

又因为△为等腰直角三角形，所以，

即，所以，即，解得，

而椭圆中，所以，

故答案为：．

15．（5分）已知双曲线的方程为，，，双曲线上存在一点，使得，则实数的最大值为 　2　．

【解答】解：设，

因为，，，

所以，

整理得，

所以点在以为圆心，以2为半径的圆上，

又因为在双曲线上，

所以圆与双曲线有交点，

双曲线右顶点

故，

所以的最大值为2，

故答案为：2．

16．（5分）已知函数，设，且函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为 　　．

【解答】解：作出函数图像如图，由题可知图像为直线且恒过，

则当时，图像与图像只有两个交点，则，

当时，，设其过点的切线的切点为，，

则，且，解得，舍去），

当时，，切线方程为，则

则由图可得若与图像有3个不同交点，

只需，即，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．求：

（1）弦的长；

（2）△的周长．

【解答】解：（1）双曲线的右焦点为，设，，，，

直线的方程可设为，代入方程得，，

，，，

，，

；

（2）由（1）可知，，，又，

则△的周长为．

18．（12分）已知数列的首项，其前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，且，求．

【解答】解：（1）因为，

所以，即，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，

故数列的通项公式为．

（2），

所以，

由，得，

解得或，

因为，所以．

19．（12分）已知函数．

（1）若，求函数在，（1）处的切线方程；

（2）讨论函数在，上的单调性．

【解答】解：（1）当时，，，

（1），又（1），

函数在，（1）处的切线方程为；

（2），，，，

当时，，在，上单调递减；

当时，由，得，

若，即，在，上恒成立，单调递增；

若，即，在，上恒成立，单调递减；

若，即，当，时，，当，时，，

的减区间为，，增区间为，；

综上所述，当时，在，上单调递减；

当时，的减区间为，，增区间为，；

当时，在，上单调递增．

20．（12分）已知圆，是圆上一点，过作直线交圆于另一点，交轴正半轴于点，且为的中点．

（1）求圆在点处的切线方程；

（2）求直线的方程．

【解答】解：（1）圆的标准方程为，圆心，

因为直线的斜率为，所以圆在点处的切线斜率为2，

所以切线方程为，即．

（2）由题意设，

因为为的中点，所以，

将点代入圆的方程得，

解得或，

当时，，此时的方程为；

当时，，此时的方程为，

所以的方程为或．

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，．点满足．记的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）直线经过点，与轨迹分别交于点、，与直线交于点，求证：．

【解答】解：（1）由椭圆定义得，点的轨迹为以点，为焦点，长轴长为4的椭圆，

设此椭圆的标准方程为，

则由题意得，

所以的方程为．

（2）证明：设点、的坐标分别为，，，，

由题意知直线的斜率一定存在，设为，

则直线的方程可设为，

与椭圆方程联立可得，

由韦达定理知

所以，

，

又因为，，

所以，

又由题知，

所以，

所以，

所以．

22．（12分）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为函数，所以，

所以当时，；当时，；

即在上单调递增，在上单调递减．

由上可知，的极大值为（1），无极小值．

（2）由对恒成立可变形为：

对恒成立．

令，则对恒成立．

当时，恒成立；

当时，，使得，与对恒成立矛盾；

当时，易知恒成立．

考虑直线方程．

先证明函数的图象始终在直线的下方，即证明：

．

构造函数，则，

令，则，

于是可得：在上单调递减，在，上单调递增，

且当时，恒成立，．

故可得当时，；当时，，

即在上单调递减，在上单调递增．

从而可知的最小值为，

即，即恒成立．

综上，实数的取值范围为，．

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