2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题(本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1．（5分）已知是虚数单位，则复数所对应的点所在的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数，如表
相关系数
甲
乙
丙
丁


0.78

0.887
则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（5分）设，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为　　
A．6 B．10 C．15 D．20
5．（5分）已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有　　
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
7．（5分）若曲线在点，处的切线方程为，则的最小值为　　
A． B． C． D．1
8．（5分）已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
9．（5分）下列说法正确的有　　
A．若随机变量，，则
B．若随机变量，则方差
C．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
D．已如随机变量的分布列为，2，，则
10．（5分）设复数，满足，则下列结论正确的是　　
A． B．
C．若，则 D．若，则
11．（5分）已知函数，下列说法正确的是　　
A．函数在上不单调
B．函数在，内有两个极值点
C．函数在，内有4个零点
D．函数在区间，上的最小值为
12．（5分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是　　

A．若平面，则为的中点
B．若为的中点，则三棱锥的体积为
C．锐二面角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5份，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
13．（5分）点是椭圆与双曲线的一个交点，点，是椭圆的两个交点，则　　．
14．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 　　种（用数字作答）
15．（5分）已知的展开式中的常数项为8，则实数　　．
16．（5分）购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元．已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 　　（保留两位有效数字）；一年度内盈利的期望为 　　万元．（参考数据：
四、解答题(本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区城内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量，的数据如表：

东部城市
东部城市
东部城市
西部城市
西部城市

40
50
60
20
30

110
180
210
30
70
（1）根据上述数据补全下列联表：
（2）判断是否有的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．
参考公式：，其中．
临界值表：

0.15
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
列联表：

东部城市
西部城市
总计
甲

50

乙


600
总计
650

800
18．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，点在线段上．
（1）若，求直线与直线所成角的余弦值大小；
（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．

20．（12分）某公司招聘员工，甲、乙两人同时参与应聘，应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以被该公司成功录用．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
（1）求乙未能参与面试的概率；
（2）记甲本次应聘过程中通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；
（3）若该公司仅招聘1名员工，试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能入职．
21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线与交于、两点，点在椭圆上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性，并写出单调区间；
（2）若存在两个零点，，求的取值范围，并证明．

2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1．（5分）已知是虚数单位，则复数所对应的点所在的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简，，从而得到，从而确定象限．
【解答】解：，，
，在第四象限，
故选：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数，如表
相关系数
甲
乙
丙
丁


0.78

0.887
则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据的绝对值越大，两变量具有更强的线性相关性，即可判断得到答案．
【解答】解：因为，
所以甲同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．
故选：．
【点评】本题考查了相关系数的理解与应用，解题的关键是掌握的绝对值越大，两变量具有更强的线性相关性，属于基础题．
3．（5分）设，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】分别解出不等式：，，即可判断出结论．
【解答】解：由解得：；
由解得：．
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为　　
A．6 B．10 C．15 D．20
【分析】根据所有项的系数之和为，求得，可得展开式中的二项式系数的最大值．
【解答】解：在展开式中，令，可得所有项的系数之和为，
，
展开式中的二项式系数的最大值为．
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
5．（5分）已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【分析】根据条件，可得，然后由，得到，，的值．
【解答】解：、分别是对边、的中点，
，，


，
，
，，．
故选：．

【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，熟练掌握向量的三角形法则及平行四边形法则是解题的关键，属于基础题．
6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有　　
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，
共有个．
故选：．
【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．
7．（5分）若曲线在点，处的切线方程为，则的最小值为　　
A． B． C． D．1
【分析】先根据题意建立，的方程，再把用一个变量来表示，再构造函数求最小值即可得到的最小值．
【解答】解：，因为切点在直线上，所以①，
，结合导数的几何意义有②，
因为，所以，
联立①②消去得，所以，，
令，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此（2），故的最小值为 1．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查消元法的应用，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
8．（5分）已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得，进而得到，由抛物线的焦点坐标，可得，进而得到抛物线的方程．连接，过点作于点，作准线于点．由抛物线的定义，得到，再由平面几何知识可得当、、三点共线时，有最小值，因此算出到直线的距离，即可得到所求距离的最小值．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
右顶点到其一条渐近线的距离等于，
可得，解得，
即有，
由题意可得，解得，
即有抛物线的方程为，
如图，过点作于点，
作准线于点，
连接，根据抛物线的定义得，
设到的距离为，到直线的距离为，
，
根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值．
到直线的距离为．
的最小值是3，
由此可得所求距离和的最小值为3．
故选：．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程和性质，给出抛物线和直线，求抛物线上一点到准线的距离与直线距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
9．（5分）下列说法正确的有　　
A．若随机变量，，则
B．若随机变量，则方差
C．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
D．已如随机变量的分布列为，2，，则
【分析】由已知利用正态分布曲线的对称性求得判断；
由已知结合方差公式判断；
直接计算，即可判定；；
利用，求得，即可判断．
【解答】解：对于，已知随机变量服从正态分布，
图象关于对称，根据，
可得，则，故正确；
对于，因为随机变量，所以方差，
则，故错误；
对于，从10名男生，5名女生中选取4人，
则其中至少有一名女生的概率为，故错；
对于，因为，所以，则，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：概率的运算，组合数，必然事件概率，数学期望，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10．（5分）设复数，满足，则下列结论正确的是　　
A． B．
C．若，则 D．若，则
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义及其模的计算公式即可判断出正误．
【解答】解：设，，，，，可得不正确；
，，，可得正确；
，，
化为，，，可得正确．
，，，，
复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，
，则，即，因此正确．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知函数，下列说法正确的是　　
A．函数在上不单调
B．函数在，内有两个极值点
C．函数在，内有4个零点
D．函数在区间，上的最小值为
【分析】求导得，令，则，
对于在上连续，，则在上不单调，即可判断是否正确；
对于，分析的正负，的单调性，推出存在唯一，，使得，列表分析随着的变化，，的变化情况，推出在，内有且只有一个极值点，即可判断是否正确；
对于：令，得或，，推出在，上有5个零点，即可判断是否正确；
对于：由选项可知，在内单调递增，在，内单调递减，又（1），，推出当，时，，进而可得，即可判断是否正确．
【解答】解：，
，
令，
，
对于在上连续，
，
所以在上不单调，故正确；
对于：因为，
当，时，，单调递减，
因为，，
所以存在唯一，，使得，
随着的变化，，的变化情况如下：

，

，


0



极大值

所以在，内有且只有一个极值点，故错误；
对于：令，
得或，，
所以在，上有5个零点，故错误；
对于：由选项可知，在内单调递增，在，内单调递减，
又因为（1），，
所以当，时，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以在，上的最小值为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
12．（5分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是　　

A．若平面，则为的中点
B．若为的中点，则三棱锥的体积为
C．锐二面角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的余弦值为
【分析】对于，根据线面平行性质可得，进而得到为的中点；
对于，利用求解即可；
对于，作的中点，则 为锐二面角 的平面角，再结合余弦定理可求解二面角的平面角的余弦值，即可判断错误；
对于，建系，求平面的法向量，根据向量的夹角来求直线与平面所成角的余弦值．
【解答】解：对于，连接，当平面，根据线面平行的性质可得，从而得到为的中点．故正确；

为的中点，，
取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，

由面面垂直性质可得底面，
，，所以正确．
连接，因为底面，又平面，所以，
在中，，
取中点，连接，，，，

为锐二面角的平面角，
在中，，
，由余弦定理可得
，所以，故错误．
对于，建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
因为，所以，
，
设平面 的法向量，则，即，取，
解得，所以，
，，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
故正确．
故选：．




【点评】本题考查线面平行的性质定理，面面垂直的性质定理，考查三棱锥的体积，考查二面角的求法，考查空间向量在立体几何中的应用．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5份，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
13．（5分）点是椭圆与双曲线的一个交点，点，是椭圆的两个交点，则　16　．
【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设，，利用椭圆与双曲线的定义，求出，即可得到答案；
【解答】解：椭圆的焦点在轴上，且，
双曲线的焦点在轴上，且，
所以椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，
设，，
由椭圆与双曲线的定义，可得，
所以，所以，
所以．
故答案为：16．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义和性质，考查了化简运算能力，属于中档题．
14．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 　150　种（用数字作答）
【分析】该安排可按先分组后排序处理，再用乘法原理求得．
【解答】解：该安排先分组，有两种，为1，1，3和1，2，2；
共有种，
再排序，种，
故不同的安排方法共有种，
故答案为：150．
【点评】本题考查了排列问题的应用，同时考查了乘法原理，属于中档题．
15．（5分）已知的展开式中的常数项为8，则实数　　．
【分析】写出二项式的展开式的通项，求出其中含的项与常数项，从而可得关于的方程，求解即可．
【解答】解：的展开式的通项公式为：，
由，得；由，得，
的展开式中的常数项为：，
；
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元．已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为 　0.63　（保留两位有效数字）；一年度内盈利的期望为 　　万元．（参考数据：
【分析】设该保险业务需要赔付为事件，由相互独立事件的概率公式可得，结合对立事件的概率公式求出（A），再由数学期望的定义求解即可．
【解答】解：由题意，设该保险业务需要赔付为事件，
该保险每一份保单需要赔付的概率为，
则每一份保单不需要赔付的概率为，
故10万份保单都不需要赔付的概率为，
则保险业务需要赔付的概率为（A），
所以一年度内盈利的期望为万元．
故答案为：0.63；150．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式以及随机变量数学期望的计算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
四、解答题(本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区城内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量，的数据如表：

东部城市
东部城市
东部城市
西部城市
西部城市

40
50
60
20
30

110
180
210
30
70
（1）根据上述数据补全下列联表：
（2）判断是否有的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．
参考公式：，其中．
临界值表：

0.15
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
列联表：

东部城市
西部城市
总计
甲

50

乙


600
总计
650

800
【分析】（1）由题中给出的数据，完成列联表即可；
（2）利用公式求出的值，对照临界表中的数据，比较大小即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意，列联表如下：

东部城市
西部城市
总计
甲
150
50
200
乙
500
100
600
总计
650
150
800
（2）由题意可知，，
故有的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．
【点评】本题考查了列联表的应用，独立性检验的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
【分析】（1）将代入，求导，解关于导函数的不等式，求得单调性，进而得到极值；
（2）依题意，在，上恒成立，然后分△及△讨论即可．
【解答】解：（1）当时，，则，
当时，，当或时，，
函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，
，；
（2）依题意，在，上恒成立，
①当△，即时，恒成立，符合题意；
②当△，即时，由于对称轴，故只需，即即可；
综上，实数的取值范围为，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，点在线段上．
（1）若，求直线与直线所成角的余弦值大小；
（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和直线与直线的方向向量的坐标，由向量的夹角公式求解即可；
（2）设，，，设，求出点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，然后利用向量的夹角公式建立等式关系，求解的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，
因为，则，
所以，
则，
故直线与直线所成角的余弦值大小为；
（2）因为是的中点，则，2，，
所以，设，，，
设，
则有，，，0，，
解得，，，
所以点，0，，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
因为，
又直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得，
所以，
故．

【点评】本题考查了异面直线所成的角以及线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
20．（12分）某公司招聘员工，甲、乙两人同时参与应聘，应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以被该公司成功录用．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
（1）求乙未能参与面试的概率；
（2）记甲本次应聘过程中通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；
（3）若该公司仅招聘1名员工，试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能入职．
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可；
（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
（3）分别求出甲、乙两人入职的概率，比较大小即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知，若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参加面试，
故乙未能参加面试的概率为；
（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2
3
4
5







故；
（3）由（2）可知，甲入职的概率为，
乙入职的概率为，
因为，
故甲更有可能入职．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线与交于、两点，点在椭圆上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据椭圆的离心率为，可得，联立直线与椭圆方程，解得，再结合弦长公式，即可求解．
（2）设，，，，四边形为平行四边形，可得，，将点坐标代入椭圆方程中，可推得，再结合参数方程，即可求解．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，
，可得，
联立直线与椭圆方程，解得，
，即，
椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，
四边形为平行四边形，
，，
又点在椭圆上，
，
又，，
①，
设，，代入①式，可得，即为，
，
，为定值．
【点评】本题考查圆锥曲线中椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中面积为定值问题，需要学生较强的综合能力，属于难题．
22．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性，并写出单调区间；
（2）若存在两个零点，，求的取值范围，并证明．
【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
（2）结合（1）中结论及题意可得，求得的最值，结合题意可得，根据函数的单调性及零点存在性定理可得若有两个零点，则的取值范围为．不妨设，分析可得要证，只需证，令，，，利用导数证得，即可得证．
【解答】（1）解：因为，，所以，
当时，，即的单调递增区间为，无递减区间；
当时，令，可解得，令，可解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2），
若存在两个零点，，由（1）可知，，的单调递减区间为，单调递增区间为．
，解得，注意此时
①当时，，此时，则在和上分别存在一个零点；
②当时，，
设（a），，则（a），（a），
所以（a）在单调递增，则（a），．
所以（a）在单调递减，则（a），即，
此时，则在和分别存在一个零点；
综上，若有两个零点，则的取值范围为．
下面证明，
不妨设，由得，
，
两式相减得，，
两式相加得，，
要证，只需证，
即证，
即证，
令，，
，则在上单调递增，
所以（1），
又因为，所以，得证．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查函数零点问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
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日期：2021/12/1 14:11:15；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394