2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z=3+4i1−2i，则|z|=( )
A. 3B. 3C. 5D. 5
2.已知向量a=(m,1)，b=(1,2−3m)，若a⊥b，则实数m的值为( )
A. --1B. 1C. −2D. 2
3.已知csα=45,α∈(−π2,0),tanβ=12，则tan(α−β)的值为( )
A. −25B. −1011C. −211D. −2
4.已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. 3πB. 2πC. πD. 2π
5.在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/ℎ，距离台风中心150km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响(参考数据： 2≈1.4)( )
A. 2B. 4.5C. 9.5D. 10
6.从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则( )
A. A与B互斥B. A与B独立C. A与C互斥D. A与C独立
7.在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1=CC1=DD1=2BG=2 3，点E、F分别为线段BC、CC1的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为( )
A. 715VB. 722VC. 724VD. 817V
8.已知点P为△ABC内一点，且∠ABP=30°，∠PBC=15°，∠PCB=15°，∠PCA=60°，则∠PAC的正切值为( )
A. 6−3 3B. 2− 3C. 6− 311D. 35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法正确的是( )
A. 若z2=−1，则z=i．
B. |z2|=|z|2
C. |z1−z2|≥|z1|−|z2|
D. 若|z+1+i|=2，则|z|的取值范围为[2− 2,2+ 2]
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(4SABC= 3(a2+c2−b2)，则下列说法正确的是( )
A. B=π3
B. csA⋅csC的取值范围是(−14,14]
C. 若D为边AC的中点，且BD= 3，则△ABC面积的最大值为 3
D. 若角B的平分线交AC于点E，且BE=2 3，则a+4c的最小值为18
11.正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是( )
A. AC⊥DE
B. 直线BC与平面BEDF所成的角为60°
C. 若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F−ADP的体积为定值9 24
D. 若点P为棱ED上的动点，则AP+BP的最小值为3( 6+ 2)2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,−1)，则a在b上的投影向量的坐标为______．
13.如图，平面四边形ABCD中，∠BAD=∠CBD=75°，∠BAC=30°，∠ABD=45°，AB= 6，则CD的长为______．
14.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=2，∠ACB=60°，SC为球O的直径，且SC=4，则三棱锥S−ABC体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠DAB=60°，AC交BD于点O，PB=PD=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点．
(1)求证：MN/​/平面PCD．
(2)记二面角B−PC−D的平面角为θ，若csθ=−17．
①求PA与底面ABCD所成角的大小．
②求点N到平面CDP的距离．
16.(本小题17分)
已知0°0，解得b>2，
若B为最大角，只需a2+16−b2>0，故b2+16−4b+16−b2>0.解得b