江苏省南京市六校2023-2024学年高二下学期5月期中调研测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市六校2023-2024学年高二下学期5月期中调研测试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．正项等比数列中,,,则( )
A.2B.4C.8D.16
2．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱(如图所示),点P是正方形的中心,则( )
A.1B.2C.3D.4
3．由0,1,2,3,4组成无重复数字的三位偶数的个数是( )
A.24B.30C.36D.60
4．已知离散型随机变量X的概率分布如右表,离散型随机变量Y满足,则( )
A.B.C.D.
5．若,则( )
A.45B.55C.120D.165
6．甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋中有4个白球和n个红球.先随机取一只袋,再从该袋中随机取一个球,该球为红球的概率是,则( )
A.2B.3C.4D.5
7．已知数列满足,当时,有,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数在上有且仅有一个零点,则实数的取值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.4名同学选报跑步,跳高,跳远三个项目,每人报一项,共有24种报名方法
B.4名同学都参加了跑步,跳高,跳远三个项目,则这三个项目的冠军共有64种不同结果
C.4名同学选报跑步,跳高,跳远三个项目,每人报一项,每项至少一人,共有24种报名方法
D.4名同学选报跑步,跳高,跳远三个项目,每项报一人,每人至多报一项,共有24种报名方法
10．若,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11．如图,在棱长为1的正方体中,为平面内一动点,则( )
A.若M在线段AB上的动点,则M到直线的距离的最小值为1
B.若M在线段AB上的动点,则M到平面的距离的最小值为
C.若与平面ABCD所成的角为,则点M的轨迹为抛物线
D.对于给定的点M,过M有且仅有3条直线与直线,所成角都为
三、填空题
12．已知随机事件A,B满足,,,则________.
13．曲线与的公切线方程为________.
14．如图所示数阵,第1行为1,从第2行开始,每一行的左右两端都为1,而除1之外的每个数为前一行其上方相邻两个数之和再加1.则第12行的第3个数为________;当时,前n行的所有数之和为________.
四、解答题
15．设等差数列的公差为,数列的前n项和为,若.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前项和.
16．在的展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为.
（1）求n的值;
（2）求展开式中含的项的二项式系数;(用数字作答)
（3）求值:.
17．某城市人口数量950万人左右,共900个社区.在实施垃圾分类之前,随机抽取300个社区,并对这300个社区某天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查,每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布.将垃圾量超过32吨/天的社区确定为“超标”社区.
（1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数;(结果取整数部分)
（2）通过研究样本原始数据发现,抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区,市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查,已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨.设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数,求的概率分布与数学期望;
（3）用样本的频率代替总体的概率,现从该市所有社区中随机抽取50个社区,记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数,求的值.
(参考数据:;;;)
18．如图,在斜三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,是以AC为斜边的等腰直角三角形,点O为AC中点,,点F为的中点.
（1）求证:平面ABC;
（2）求二面角的余弦值;
（3）过作与AF垂直的平面,平面交直线BC于点Q,求线段BQ的长度.
19．已知函数.
（1）当时,求的单调区间;
（2）当时,恒成立,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：若个位数字为0,则前两位的排法种数为,
若个位数字为2,则因为首位不能为0,所以首位的排法种数为3,
中间一位的排法种数为3,共有,若个位数字为4,则因为首位不能为0,所以首位的排法种数为3,
中间一位的排法种数为3,共有,根据分类加法原理得到,
共有,
故选B.
4．答案：A
解析：
5．答案：D
解析：,
,
解得,
,
故选:D.
6．答案：A
解析：
7．答案：B
解析：由题意可知,数列an的奇数项是首项为1,公差为1的等差数列,所以.数列an的偶数项是首项为2,公比为2的等比数列,所以.
所以.故选B.
8．答案：C
解析：
9．答案：BD
解析：对于A,4名同学选报跑步,跳高,跳远三个项目,每人报一项,共有种报名方法,故A错误;
对于B,4名同学都参加了跑步,跳高,跳远三个项目,则这三个项目的冠军共有种不同结果,故B正确;
对于C,4名同学选报跑步,跳高,跳远三个项目,每人报一项,每项至少一人,共有种报名方法,故C错误;
对于D,4名同学选报跑步,跳高,跳远三个项目,每项报一人,每人至多报一项,共有种报名方法,故D正确.故选:BD.
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ABD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：由题意知:设曲线上的切点为,
曲线上的切点为,
,,
则公切线的斜率,则,
公切线方程为:即,
将代入公切线方程得:,
由,得,
令,,
则,
令,得,
则在上,,单调递增,
在上,,单调递减,
则,
则,,
故切线方程为:,即.
14．答案：109,
解析：
15．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由,
又由,
综上可得数列的通项公式;
（2）因为,所以,
则.
所以
16．答案：（1）8
（2）56
（3）1793
解析：（1）根据题意,,
即,
,故.
（2）,
其展开式的通项公式,,1,2,…,6,
令,解得,
故展开式中含的项的二项式系数为56.
（3）
由
原式.
17．答案：（1）20
（2）
（3）0.35
解析：（1）该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量X大致服从正态分布,
,
,
所以这900个社区中“超标”社区的个数为20;
（2）由题可知随机变量
,,
,
的分布列为:
则.
（3）由（1）可知随机变量
的值约为0.35.
18．答案：（1）见解析
（2）
（3）1
解析：（1）因为是等腰直角三角形,
,O为AC中点,
;
又由可知
,AC,平面ABC,
故
（2）因为为正三角形,O为AC中点,,
由（1）知,平面ABC,OB,平面ABC,所以,,
如图以O为原点建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
由（1）知,面ABC,所以平面ABC的一个法向量为,
设面的一个法向量,,,
,不妨设,则,,
设平面ABC与平面的夹角为,
又,,即,
由图可知,即二面角余弦值为.
（3）设,,则,,
所以,,
又为中点,,
所以,,
因为过作与AF垂直的平面,交直线BC于点Q,所以,则,
所以,解得,
所以,则,所以,
即.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,,,
则,
设,则恒成立,又,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的减区间为,增区间为;
（2）法一.设
,
设,则,所以在上单调递增,
又,,
所以存在,使得,即,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时,取得极小值,也是最小值,
所以,
所以,即,
设,易知单调递增,且,
所以,解得,
综上,.
法二.恒成立的最小值
,
令,易知
当时,,y单调递减,
当时,,y单调递增,
所以时,
即
设,易知单调递增,且,
所以,解得,
综上,.
X
0
1
2
3
P
a
5a
Y
0
1
2
3
P