北师大版1 认识一元二次方程课时练习

这是一份北师大版1 认识一元二次方程课时练习，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.关于x的方程(a−1)x2+ a+1x+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A. a≠1B. a≥−1且a≠1C. a>−1且a≠1D. a≠±1
2.已知一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为−3，1，则方程a(x+m−2)2+n=0(a≠0)的两根分别为( )
A. 1，5B. −1，3C. −3，1D. −1，5
3.下列方程中，关于x的一元二次方程有( )①x2=0 ②ax2+bx+c=0 ③ 2x2−3= 5x ④a2+a−x=0 ⑤(m−1)x2+4x+m2=0 ⑥1x+1x=13 ⑦ x2−1=2 ⑧(x+1)2=x2−9
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4.若关于x的一元二次方程ax2+bx−7=0的一个根是x=−2，则2024−4a+2b的值是( )
A. 2031B. 2022C. 2017D. 2026
5.下列方程：①(a2−1)x2+bx+c=0；②2x2+1x+3=0；③(1−2x)(3−x)=2x2+1； ④x2+2x−y=0；⑤ 5x2−8= 3x.一定是一元二次方程的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.已知a是方程x2−2x−1=0的解，则代数式2a2−4a+2022的值为( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
7.根据表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=3的一个解x的范围是( )
A. 1.18.已知x=−1是一元二次方程x2+2mx+m=0的一个实数根，则m的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
9.方程a−bx2+b−cx+c−a=0的一个根为x=( )
A. 1B. −1C. b−cD. −a
10.若m是方程x2−3x−2=0的根，则(mm−1−2)÷mm2−1的值为( )
A. −3B. −2C. 2D. 3
11.若x=1是一元二次方程x2−mx=0的一个根，则m的值是( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
12.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2024，则一元二次方程a(x−1)2+bx−b+2=0必有一根为( )
A. 2025B. 2024C. 2023D. 2022
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a=______．
14.若2n(n≠0)是关于x 的方程 x2−2mx+2n=0的根，则m−n的值为 ．
15.已知x=m是关于x的方程x2−2x−1=0的一个根，则代数式2m2−4m+2024的值为________；
16.若a是x2−3x=4的一个根，则8−2a2+6a=______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知−1是方程x2+ax−b=0的一个根，求a2−b2+2b的值．
18.(本小题8分)
已知m是方程x2−3x+1=0的一个根，求(m−3)2+(m+2)(m−2)的值．
19.(本小题8分)
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1，且a，b满足b= a−2+ 4−2a−3，求关于y的方程14y2−c=0的根．
20.(本小题8分)
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中常数项c是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，则c的值为______；
(2)如果关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，求m的值．
21.(本小题8分)
已知关于x，y的方程组ax+2 3y=−10 3,x+y=4与x−y=2,x+by=15的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2 6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
22.(本小题8分)
(2023·北京西城·统考一模)已知a是方程x2+2x−1=0的一个根，求代数式(a+1)2+a(a+2)的值．
23.(本小题8分)
根据多项式乘法可知(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq从而我们可得干字相乘法进行因式分解的公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，比如：x2−4x−5=x2+(−5+1)x+(−5×1)=(x−5)(x+1)，据此回答下列问题：
(1)将二次三项式x2+6x−7分解因式．
(2)解一元二次方程x2−2023x−2024=0．
(3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解.如：2x2+7x−4=0，方程分解为(x+4)(2x−1)=0，从而可以快速求出方程的解.请你利用此方法尝试解方程3x2+x−10=0．
24.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+1a)÷a2−1a−2a−2a2−2a+1，其中a是方程x2−x−2=0的根．
25.(本小题8分)
已知关于x的方程(m2−4)x2−(m+2)x+m=0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)此方程是一元二次方程，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.直接利用一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：∵关于x的方程(a-1)x2+ a+1x+2=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，a+1≥0，
解得：a≥−1，且a≠1．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为−3，1，
∴方程a(x+m−2)2+n=0(a≠0)中x−2=−3或x−2=1，
解得：x=−1或3，
即方程a(x+m−2)2+n=0(a≠0)的两根分别为−1和3，
故选：B．
本题考查了一元二次方程的解的意义，将x−2看成整体根据已知方程的解得出x−2=−3或x−2=1是解此题的关键．根据已知方程的解得出x−2=−3或x−2=1，然后解这两个一元一次方程即可求出x的值．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】
解：①x2=0是一元二次方程；
②当a=0时是一元一次方程，不是一元二次方程；
③ 2x2−3= 5x是关于x的一元二次方程；
④有2个未知数，不是一元二次方程；
⑤m−1=0时是一元一次方程；
⑥分式方程;
⑦根号里面是的次数是2，不是二次方程；
⑧化简后2x+10=0是一元一次方程．
则关于x的一元二次方程共有2个
故选A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x=−2代入方程ax2+bx−7=0得4a−2b−7=0，然后利用整体代入的方法计算2024−4a+2b的值．
【解答】
解：把x=−2代入方程ax2+bx−7=0得4a−2b−7=0，
∴4a−2b=7，
∴2024−4a+2b=2024−(4a−2b)=2024−7=2017．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)进行判断．
【解答】
解：①(a2−1)x2+bx+c=0；当a=±1时，方程不是一元二次方程，
②分母有未知数x，不是一元二次方程，
③(1−2x)(3−x)=2x2+1，没有二次项，不是一元二次方程；
④x2+2x−y=0；含有两个未知数，不是一元二次方程，
⑤ 5x2−8= 3x是一元二次方程，
是一元二次方程只有⑤，
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
先利用一元二次方程的解的定义得到a2−2a=1，再把2a2−4a+2022变形为2(a2−2a)+2022，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：∵a是方程x2−2x−1=0的解，
∴a2−2a−1=0，
即a2−2a=1，
∴2a2−4a+2022
=2(a2−2a)+2022
=2×1+2022
=2024．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到x=1.3和x=1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3【解答】
解：当x=1.3时，ax2+bx+c=2.29，
当x=1.4时，ax2+bx+c=3.76，
所以方程的解的范围为1.3故选C．
8.【答案】C
【解析】解：把x=−1代入原方程，得
1−2m+m=0，
解得m=1．
故选：C．
把x=−1代入已知方程，列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．也考查了一元二次方程的定义．
9.【答案】A
【解析】【分析】分别把各选项代入方程，判断方程两边是否相等即可求解．
【详解】解：把x=1代入方程得，a−b+b−c+c−a=0，
∴x=1是方程的解，故 A符合题意；
把x=−1代入方程得，a−b−b+c+c−a=−2b+2c≠0，
∴x=−1不是方程的解，故 B不符合题意；
把x=b−c代入得，a−bb−c2+b−c2+c−a≠0，
∴x=b−c不是方程的解，故 C不符合题意；
把x=−a代入方程得，a−b⋅a2−ab−c+c−a≠0，
∴x=−a不是方程的解，故 D不符合题意；
故选：A．
本题考查一元二次方程的解，熟记方程的解的定义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的有关知识，根据题意得到m2−3m−2=0，进而得到m2=2+3m，再将给出的分式进行化简，最后代入求值即可．
【解答】
解：∵m是方程x2−3x−2=0的根，
∴m2−3m−2=0，
∴m2=2+3m，
∴原式=m−2m+2m−1·m2−1m
=2−mm−1·m2−1m
=2−mm+1m
=m−m2+2m
=m−(2+3m)+2m
=m−2−3m+2m
=−2
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义把x=1代入方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】
解：∵x=1为一元二次方程x2−mx=0的一个根，
∴12−m=0，
∴m=1．
故选B．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的解的有关知识，对于一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)+2=0，设t=x−1得到at2+bt+2=0，利用at2+bt+2=0有一个根为t=2025得到x−1=2024，从而可判断一元二次方程a(x−1)2+bx−b+2=0必有一根为x=2025．
【解答】
解：∵a(x−1)2+bx−b+2=0，
∴a(x−1)2+b(x−1)+2=0
设t=x−1，
所以at2+bt+2=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2024，
所以at2+bt+2=0有一个根为t=2024，
则x−1=2024，
解得x=2025，
所以一元二次方程a(x−1)2+bx−b+2=0必有一根为x=2025．
13.【答案】−1
【解析】解：把x=0代入(a−1)x2−2x+a2−1=0，得：a2−1=0，
解得：a=±1，
∵a−1≠0，
∴a=−1．
故答案为：−1．
根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a=±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程的解的概念和求代数式的值.首先通过解的概念把2n代入方程中，通过变形得出m−n的值即可．
【解答】
解：∵2n是方程x2−2mx+2n=0的根，
∴4n2−4mn+2n=0，
又n≠0，
∴4n−4m+2=0，
∴m−n=12．
15.【答案】2026
【解析】解：∵m是方程x2−2x−1=0的一个根，
∴m2−2m−1=0，
∴m2−2m=1，
∴2m2−4m+2024=2(m2−2m)+2024=2+2024=2026．
故答案为2026．
根据一元二次方程的解的定义得到m2−2m=1，再把2m2−4m表示为2(m2−2m)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
因为a是方程x2−3x=4的一个根，所以a2−3a=4，那么代数式8−2a2+6a可化为8−2(a2−3a)，然后把a2−3a=4代入即可．
【解答】
解：将x=a代入原方程，得a2−3a=4，
所以原式=8−2(a2−3a)=8−2×4=0．
17.【答案】解：∵−1是方程x2+ax−b=0的一个根，
∴1−a−b=0，
∴a+b=1，
∴a2−b2+2b=(a+b)(a−b)+2b=a−b+2b=a+b=1．
【解析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先根据一元二次方程的解的定义得到1−a−b=0，即a+b=1，然后利用整体代入的方法计算代数式a2−b2+2b的值．
18.【答案】解：∵m是方程x2−3x+1=0的一个根，
∴m2−3m+1=0，即m2−3m=−1，
∴(m−3)2+(m+2)(m−2)=m2−6m+9+m2−4=2(m2−3m)+5=3．

【解析】【分析】把x=m代入方程得：m2−3m+1=0，即m2−3m=−1，再整体代入原式=m2−6m+9+m2−4=2(m2−3m)+5可得．
【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程．
19.【答案】解：∵a，b满足b= a−2+ 4−2a−3，
∵a−2≥0，4−2a≥0，
∴a=2，
把a=2代入b= a−2+ 4−2a−3，
得b=−3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1，
∴a+b+c=0，又a=2，b=−3，
∴c=1，
∴关于y的方程14y2=1，
解得y1=2，y2=−2．
【解析】【分析】
本题综合考查了一元二次方程的解的概念以及二次根式有意义的条件，比较简单．
首先根据a、b满足的关系式，求出a、b的值，然后解出c，最后解y的方程．
20.【答案】0或−2
【解析】解：(1)∵关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=c，
代入方程得，c2+2c=0，
解得c=0或−2；
故答案为：0或−2；
(2)∵关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x=m+1，
代入方程得，(m+1)2+2m(m+1)+m+1=0，
整理得，3m2+5m+2=0，
解得m=−23或−1．
(1)根据常数根一元二次方程的定义，把x=c代入方程，解关于c的方程即可；
(2)根据常数根一元二次方程的定义，把x=m+1代入方程，解关于m的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c(m)的方程．
21.【答案】解：(1)由题意得，关于x，y的方程组ax+2 3y=−10 3,x+y=4与x−y=2,x+by=15的相同解，就是方程组x+y=4x−y=2的解，
解得，x=3y=1，
∴3a+2 3=−10 3，3+b=15，
解得，a=−4 3，b=12；
(2)当a=−4 3，b=12时，关于x的方程x2+ax+b=0为x2−4 3x+12=0，
解得，x1=x2=2 3，
又∵(2 3)2+(2 3)2=(2 6)2，
∴以2 3、2 3、2 6为边的三角形是等腰直角三角形．
【解析】本题考查二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理，掌握一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理是得出正确答案的关键．
(1)关于x，y的方程组ax+2 3y=−10 3,x+y=4与x−y=2,x+by=15的解相同．首先求出方程组x+y=4x−y=2的解，进而确定a、b的值；
(2)将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b=0，求出方程的解，再根据方程的两个解为边长与2 6为边长，判断三角形的形状．
22.【答案】解： (a+1)2+a(a+2)
= a2+2a+1+a2+2a
= 2a2+4a+1
∵a是方程 x2+2x−1=0 的一个根，
∴ a2+2a−1=0 ，即 a2+2a=1 ．
∴原式 =2×1+1=3 ．

【解析】【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解： (a+1)2+a(a+2)
=a2+2a+1+a2+2a
=2a2+4a+1 ，
∵a是方程 x2+2x−1=0 的一个根，
∴ a2+2a−1=0 ，
即 a2+2a=1 .
∴原式 =2(a2+2a)+1 =2×1+1=3 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)x2+6x−7=(x−1)(x+7)；
(2)x2−2023x−2024=0．
利用十字相乘法，得
(x−2024)(x+1)=0．
∴x−2024=0或x+1=0．
∴x1=2024，x2=−1．
(3)3x2+x−10=0．
利用十字相乘法，得
(3x−5)(x+2)=0．
∴3x−5=0或x+2=0．
∴x1=53，x2=−2．
【解析】(1)利用十字相乘法进行分解；
(2)把方程左边分解因式，则原方程可转化为x−3=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可；
(3)把方程左边分解因式，则原方程可转化为5x−3=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
24.【答案】解：(1+1a)÷a2−1a−2a−2a2−2a+1
=a+1a⋅a(a+1)(a−1)−2(a−1)(a−1)2
=1a−1−2a−1
=11−a．
∵a为方程x2−x−2=0的根，
∴a2−a−2=0，
∴(a−2)(a+1)=0，
∴a1=2，a2=−1．
∵a≠±1，
∴a=2．
则原式=11−2=−1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到a的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)根据一元一次方程的定义可知：m2−4=0且−(m+2)≠0，
解得：m=2，
即m=2时，方程(m2−4)x2−(m+2)x+m=0是一元一次方程．
(2)根据一元二次方程的定义可知：m2−4≠0，
解得：m≠±2．
即当m≠±2时，方程(m2−4)x2−(m+2)x+m=0是一元二次方程．

【解析】此题主要考查了一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，关键是掌握两种方程的定义；
(1)根据一元一次方程的定义可得m2−4=0且−(m+2)≠0，求解即可得到m的值；
(2)根据一元二次方程的定义可知：m2−4≠0，解不等式即可得到m的取值范围．x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
−0.59
0.84
2.29
3.76