八年级下册数学暑假作业 (35)

这是一份八年级下册数学暑假作业 (35)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. △ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. ∠A＋∠B＝∠CB. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3C. D. a：b：c＝4：4：6
3. 某班在学校的合唱比赛中，七个评委给出的得分依次为20，18，22，17，20，20，17，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A. 18，17B. 20，20C. 20，19D. 20，17
4. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A. 2016B. 2020C. 2025D. 2026
5. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 如图，直线经过点A和点B，直线过点A，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 若代数式在实数范围内有意义，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A 2+2B. 4C. 4D. 6
9. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ）
A. B. 24C. D. 12
10. 如图，在中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，，，都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分．
12. 如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 _____．
13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
14. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____．
15. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④．其中正确结论的个数是（填写序号）________．

三、解答题
16. （1）计算：
（2）解方程
17. 为了解我校学生每天的睡眠时间（单位：小时），随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为__________人，扇形统计图中的__________；
（2）请补全条形统计图；
（3）求所调查的学生每天睡眠时间的方差；
（4）若睡眠时间超过7小时及以上在白天才能达到良好的学习效果，估计我校学生每天睡眠时间不足的人数．
18. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求的长度．
19. 在平面直角坐标系中，一次函数（k，b都是常数，且）的图象经过点和
（1）当时，求y的取值范围．
（2）已知点在该函数的图象上，且，求点P的坐标．
20. 为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售．1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米．建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元．
（1）求每个，类展位占地面积各为多少平方米；
（2）该村拟建，两类展位共40个，且类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求建造这40个展位的最小费用．
21. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．

（1）判断图1中中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）当图1中四边形ABCD的对角线添加条件______时，这个中点四边形EFGH是矩形；四边形ABCD的对角线添加条件_______时，这个中点四边形EFGH是菱形．
（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点在轴正半轴上，对角线交轴于点，边交轴于点．动点从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点运动．

（1）点C的坐标为______；点B的坐标为______；
（2）求的长；
（3）设动点P的运动时间为t秒连接、，的面积为，请用含的式子表示，并说明理由
八年级下册数学暑假作业
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】A．，故A错误；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算，是解题的关键．
2. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. ∠A＋∠B＝∠CB. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3C. D. a：b：c＝4：4：6
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理进行判定即可．
【详解】A、由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C=180°，可得∠C=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，得∠C=，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、由得，，根据勾股定理的逆定理得，△ABC为直角三角形，不符合题意；
D、由a：b：c＝4：4：6，设a=4k，b=4k，c=6k（其中k≠0），由于，故△ABC不直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理与三角形内角和定理，掌握常用的判定方法是关键．
3. 某班在学校的合唱比赛中，七个评委给出的得分依次为20，18，22，17，20，20，17，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A. 18，17B. 20，20C. 20，19D. 20，17
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】解：将数据重新排列为17、17、18、20、20、20、22，
所以这组数据的众数为20，中位数为20，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求中位数和求众数，解题的关键在于能够熟练掌握众数和中位数的定义.
4. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A. 2016B. 2020C. 2025D. 2026
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b=-1，然后把2021-a-b变形为2021-（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx+5=0得a+b+5=0，
所以a+b=-5，
所以2021-a-b=2021-（a+b）=2021+5=2026．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
6. 如图，直线经过点A和点B，直线过点A，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象得到点A坐标，再由图象找出直线在直线下方的图象对应的x的值即可求出不等式的解集．
【详解】解：∵，
观察图象，不等式的解集为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，解题的关键 是根据函数图象找出满足不等式组的信息解集问题．
7. 若代数式在实数范围内有意义，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出k的取值范围，再判断出1﹣k及k﹣1的符号，进而可得出结论．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴k＞1，
∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，
∴一次函数y＝（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
8. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A. 2+2B. 4C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】连结DE，BD，PD，使DE交AC于点P′．因为BE的长度固定，可得△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小，再根据菱形的性质可得PB+PE的最小长度为DE的长，此时点P与点P′重合，再求出DE的长，即可求解．
【详解】解：连结DE，BD，PD，使DE交AC于点P′．
∵BE的长度固定，
∴当△PBE的周长最小时，PB+PE的长度最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴PD=PB，
∴PB+PE=PD+PE≥DE，
即PB+PE的最小长度为DE的长，此时点P与点P′重合，
∵菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，
∴∠BCD=60°，BC=DC，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=CD=4，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，DE⊥BC，
∴，
即PB+PE的最小长度为，
∴△PBE的最小周长为，
故选：A
【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ）
A. B. 24C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．
【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，
∴＝﹣+，
∴a﹣b＝﹣c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
∴（﹣c）2+2×8＝c2，
解得c＝2，
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，完全平方公式等知识，根据新定义和直角三角形面积公式、勾股定理得到三个关系式并结合完全平方公式进行转化是解答此题的关键．
10. 如图，在中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，，，都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．正确个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据判断出，用等边三角形的性质计算∠DFE＝150°，再通过证明、证明四边形AEFD是平行四边形，作出DF边上的高求面积．
【详解】，，，，
，
，
，
故①正确；
，都是等边三角形，
，
故③正确；
，都是等边三角形，
，，
，
在与中，
，都是等边三角形，
，，
，
在与中，
四边形AEFD是平行四边形；
故②正确．
如图所示，过A作于点G，则，
，
，
；
故④错误．
综上所述，正确的选项为3个．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练将各性质定理综合运用．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分．
【答案】8.3
【解析】
【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是加权平均数的含义，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键．
12. 如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 _____．
【答案】36
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接BD，如图所示：
∵∠C=90°，CD=4，BC=3，
∴BD===5，
∵在△ABD中，AB2+BD2=144+25=169=132=AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB•BD+BC•CD
=×12×5+×3×4
=36
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，是解答此题的关键．
13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
则
∴
=
=
=
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
14. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____．
【答案】（32，4800）
【解析】
【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【详解】由题意可得，150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为（32，4800）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程150t＝240（t﹣12）是解决问题的关键．
15. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④．其中正确结论的个数是（填写序号）________．

【答案】①③④
【解析】
【分析】①用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②过O作OH⊥BE于H，证明△OHB≌△CMB，根据△OEB包含了△OHB，可得△EOB≌△CMB是不成立的；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，推出DE=EF；④△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，推出S△BCM = S△BCF= S△BOE即可求解．
【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，故①正确；
②∵FB垂直平分OC，△OBC等边三角形，
∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°，
又∠OBE＝90°−∠CBO＝30°，
∴∠CBM＝∠OBE，
过O作OH⊥BE于H，

∴∠OHB＝∠CMB＝90°，
在△OHB与△CMB中，
，
∴△OHB≌△CMB（AAS），
∵△OEB包含了△OHB，
∴△EOB≌△CMB是不成立的，
∴②是错误的；
③连接DO，由O为AC的中点知D、O、B三点在同一直线上，
在△FCB和△FOB中，
，
∴△FCB≌△FOB（SSS），
∴∠FCB=∠FOB=90°，
∴∠EOB=180°-∠FOB=90°=∠FCB，
∵∠CBF=∠OBE=30°，
在△EBO和△FBC中，
，
∴△EBO≌△FBC（ASA），
∴EB=FB，
∴△OEB≌△OFB≌△CFB，
∴∠EBO=∠FBO =∠CBF=30°，BF=BE，
∴∠FEB=∠EFB=∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵OD=OB且OF=OE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，故③正确；
④在直角△BOE中，
∵∠EBO =30°，
∴BE=2OE，
∵OA=OB，
∴∠OAE=∠OBE=30°，
∵∠OEB=∠OAE+∠AOE=60°，
∴∠AOE=30°，
∴∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S△AOE：S△BOE=1：2，
又∵，
∵DC∥AB，
∴∠FCM=∠CAE=30°，
，
∴FM∶BM=1∶3，
∴S△BCM = S△BCF= S△BOE，
∴S△AOE：S△BCM=2∶3，
故④正确；
综上，正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，涉及内容虽多，但不复杂，解题关键是熟记并灵活运用相关的性质．
三、解答题
16. （1）计算：
（2）解方程
【答案】（1）12；（2），．
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化简，再合并同类二次根式，最后作乘法；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】解：（1）
；
（2），
因式分解得，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握运算法则和因式分解法．
17. 为了解我校学生每天的睡眠时间（单位：小时），随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为__________人，扇形统计图中的__________；
（2）请补全条形统计图；
（3）求所调查的学生每天睡眠时间的方差；
（4）若睡眠时间超过7小时及以上在白天才能达到良好的学习效果，估计我校学生每天睡眠时间不足的人数．
【答案】（1），25
（2）答案见解析 （3）1.15
（4）300
【解析】
【分析】（1）由统计图可知睡眠时间5h有4人，占比10%，即可求得总人数；
（2）根据统计图信息求得睡眠时间为7h的人数为：，再补全统计图即可；
（3）求出平均睡眠时长，再代入方差公式即可；
（4）用样本估计总体，直接用总人数，乘以样本中睡眠不足的人数占比即可求解．
【小问1详解】
解：由统计图可知睡眠时间5h的有4人，占比10%，
∴接受调查的学生人数为（人），
睡眠时间为8h的人数占比为，
，
故答案为：40，25；
【小问2详解】
睡眠时间为7h的人数为：，
故补全条形统计图如图：
【小问3详解】
平均睡眠时间为，
故方差为；
【小问4详解】
我校学生每天睡眠时间不足的人数为（人）．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取有用信息，求出接受调查的人数是解题的关键．
18. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）已知，是的平分线，若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形
∴，，
∵是的平分线，，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键．
19. 在平面直角坐标系中，一次函数（k，b都是常数，且）的图象经过点和
（1）当时，求y的取值范围．
（2）已知点在该函数的图象上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）(3，2)．
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出该一次函数解析式．
（1）由，即可求出，即．
（2）由可知P点坐标为．由点P在该函数图象上，即，解出m，从而求出n，即求出P点坐标．
【详解】根据该图象经过点(1，0)和点(0，-1)，
∴，即．
即该一次函数的解析式为．
（1）当时，
∴，即．
∴．
（2）∵，
∴．
即P点坐标为．
∵点P在该函数图象上，
∴，
解得：．
∴．
∴P点坐标为(3，2)．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键．
20. 为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售．1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米．建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元．
（1）求每个，类展位占地面积各为多少平方米；
（2）该村拟建，两类展位共40个，且类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求建造这40个展位的最小费用．
【答案】（1）每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米
（2）4280元
【解析】
【分析】（1）：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，然后根据1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米建立方程组求解即可；
（2）设建A类展位m个，则建B类展位个，建造费用为W，列出W关于m的一次函数关系，再求出m的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，
由题意得，，
解得，
∴每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米；
【小问2详解】
解：设建A类展位m个，则建B类展位个，建造费用为W，
由题意得：，
∵类展位的数量不大于类展位数量的2倍，
∴，
∴，
∵，
∴W随m增大而增大，
∴当时，W最小，最小为，
∴建造这40个展位的最小费用为4280元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意建立方程组和函数关系式是解题的关键．
21. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．

（1）判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件______时，这个中点四边形EFGH是矩形；四边形ABCD的对角线添加条件_______时，这个中点四边形EFGH是菱形．
（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）四边形EFGH是平行四边形，证明见解析
（2）AC⊥BD；AC=BD
（3）四边形EFGH为菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接AC，BD，利用三角形中位线定理可得EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，GH=AC，则EF∥HG，EF=HG，从而证明结论；
（2）根据矩形和菱形的判定可得答案；
（3）连接AC与BD，首先利用SAS证明△AMC≌△DMB，得AC=DB，然后由（1）（2）同理可得答案．
【小问1详解】
解：中点四边形EFGH是平行四边形．理由如下：
连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EFAC，EF=AC，
同理，HGAC，GH=AC，
∴EFHG，EF=HG，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
【小问2详解】
解：当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，这个中点四边形EFGH是矩形；
由（1）可知，四边形EFGH是平行四边形，
∵EFAC，EHBD，AC⊥BD，
∴∠HEF=90°，
∴▱EFGH是矩形；
当四边形ABCD的对角线添加条件AC=BD时，这个中点四边形EFGH是菱形，
由（1）可知，四边形EFGH是平行四边形，
∵EF=AC，EH=BD，AC=BD，
∴EH=EF，
∴▱EFGH是菱形；
故答案为：AC⊥BD；AC=BD；
【小问3详解】
解：四边形EFGH是菱形，证明如下：
连接AC与BD，
∵△AMD与△MCB为等边三角形，
∴AM=DM，∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM，
∴∠AMC=∠DMB，
在△AMC与△DMB中，
，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC=DB，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，HE=DB，
∴EF∥GH，，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=DB，
∴EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点在轴正半轴上，对角线交轴于点，边交轴于点．动点从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点运动．

（1）点C的坐标为______；点B的坐标为______；
（2）求的长；
（3）设动点P的运动时间为t秒连接、，的面积为，请用含的式子表示，并说明理由．
【答案】（1），
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由点A坐标可得，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，再得到点M的坐标，即；然后根据即可解答；
（3）连接，分和两种情况，分别根据菱形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：∵，，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
连接，
如图2-1中，当时，

∵，
∴．
如图2-2中，当时，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题主要查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键