八年级下册数学暑假作业 (13)

这是一份八年级下册数学暑假作业 (13)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 司机王师傅在加油站加油，如图是所用加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和数量
4. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.5环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5. 点（a，﹣1）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则a的值为（ ）
A. a＝﹣3B. a＝﹣1C. a＝1D. a＝2
6. 如图，在平坦的地面上，为测量位于水塘旁的两点A，B间的距离，先确定一点O，分别取的中点C，D，量得m，则A，B之间的距离是（ ）

A. 20mB. 40mC. 60mD. 80m
7. 一次函数y＝3x﹣2的图象经过的象限是（ ）
A. 第一、二、四象限B. 第一、二、三象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
8. 如图，在中，，在数轴上，点所表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点表示的数是（ ）

A. B. C. D.
9. 下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A. 四边相等B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
10. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A B. C. D.
11. 如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为（ ）

A 6B. 9C. 12D. 15
12. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形是黑色区域（含正方形边界），其中，，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题：每小题4分，共16分．
13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．
14. 某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是_______分．
15. 周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则图中的a＝_____．
16. 如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是______．

三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演推步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
18. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点都在格点上．

（1） ______， ______， ______；
（2）判断的形状，并说明理由．
19. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
20. 今年的4月15日是第七个全民国家安全教育日．今年的活动主题是“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就，为迎接党的二十大胜利召开营造良好氛围”．某学校开展了国家安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分为整数，并用x表示），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：
95 80 85 100 85 95 90 65 85 75
90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
八年级20名学生竞赛成绩是：
80 80 60 95 65 100 90 80 85 85
95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
（1）直接写出：______，______，______；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）若七年级有1000人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩大于80分的总人数．
21. 如图，直线与轴交于点，与经过、两点的直线交于点．

（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）根据图像直接写出：当时，的取值范围．
22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求海港到直线的距离；
（2）台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？
23. 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
24. 2022年世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别是多少元？
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种品牌的足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②若购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍，应怎样进货销售利润最大，最大利润为多少？
25. 【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．
①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
八年级下册数学暑假作业
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分．
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算算术平方根即可求解．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题主要考查求算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根的运算方法是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式判断A，B，依据二次根式的乘法判断C，依据二次根式的除法判断D．
【详解】解 ： 它们不是同类二次根式，所以不能合并，故A 错误，
故B错误，
故C正确，
故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的定义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握相关知识点是解题的关键．
3. 司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和数量
【答案】C
【解析】
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
4. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.5环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴四人中成绩最稳定的是丁；
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5. 点（a，﹣1）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则a的值为（ ）
A. a＝﹣3B. a＝﹣1C. a＝1D. a＝2
【答案】C
【解析】
【分析】把点A（a，﹣1）代入y＝﹣2x+1，解关于a的方程即可．
【详解】解：∵点A（a，﹣1）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，
∴﹣1＝﹣2a+1，
解得a＝1，
故选C．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横坐标就适合这个函数解析式．
6. 如图，在平坦的地面上，为测量位于水塘旁的两点A，B间的距离，先确定一点O，分别取的中点C，D，量得m，则A，B之间的距离是（ ）

A. 20mB. 40mC. 60mD. 80m
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理进行求解即可．
【详解】解：∵C，D为的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键．
7. 一次函数y＝3x﹣2的图象经过的象限是（ ）
A. 第一、二、四象限B. 第一、二、三象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限．
【详解】解：∵一次函数y＝3x﹣2，k＝3＞0，b＝﹣2＜0，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，
故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数图象性质，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象的性质.
8. 如图，在中，，在数轴上，点所表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点表示的数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：在中，，
，
点表示的数为：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．
9. 下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A. 四边相等B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形即可知：平行四边形具有的性质，特殊平行四边形都肯定具有，从而可判断出正确选项．
【详解】∵平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，熟练掌握并区分这些性质是解题的关键．
10. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，运用勾股定理可得，根据等腰直角三角形可得，，，再根据阴影部分的面积为即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵是直角三角形，，
∴，
∵，，，都是等腰直角三角形，
∴，，，，，，
∴，，，
∴阴影部分的面积为，
∴，
，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性质与面积计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
11. 如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为（ ）

A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，根据折叠的性质可得为的垂直平分线，进而得出是等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质可求出的长，即可求出的周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，
∴，，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴的周长为4×3＝12，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、垂直平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，得出是等边三角形是解题关键．
12. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形是黑色区域（含正方形边界），其中，，，，用信号枪沿直线发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数图像可知直线中，随的增大而减小，当直线从向右移动到时满足条件，将点，代入计算即可求解．
【详解】解：直线中，，随的增大而减小，
∴当直线过点时，，则；当直线过点时，，则；
如图所示，

∵正方形是黑色区域（含正方形边界），
∴的取值范围为，
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图形的性质，几何图形的特点是解题的关键．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14. 某校规定：学生数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是_______分．
【答案】88
【解析】
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可
【详解】本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）．
故答案为：88
【点睛】考点：加权平均数．
15. 周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则图中的a＝_____．
【答案】65
【解析】
【分析】根据函数图象可知，达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20=0.3千米/分钟，20～35分钟休息，求出继续骑行9千米的时间即可．
【详解】解：由达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20=0.3（千米/分钟），
休息15分钟后又骑行了9千米所用时间为9÷0.3=30（分钟），
∴a=35+30=65．
故答案为：65．
【点睛】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，利用数形结合的思想方法解答．
16. 如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】取的中点N，连接作交的延长线于H，根据三角形全等的判定与性质可以得到，由三角形三边关系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．
【详解】解：如图，取的中点N，连接，作交CD的延长线于H，

由题意可得：
∵点N是的中点，
∴
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点G的运动轨迹是射线，
∵
∴
∴
∴
在中，
∴，
∴在中，==，
∴≥，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演推步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，二次根式的四则混合运算法则是解题的关键．
18. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点都在格点上．

（1） ______， ______， ______；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），，；
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，
，，；
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，，；
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
19. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF．
（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
20. 今年的4月15日是第七个全民国家安全教育日．今年的活动主题是“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就，为迎接党的二十大胜利召开营造良好氛围”．某学校开展了国家安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分为整数，并用x表示），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：
95 80 85 100 85 95 90 65 85 75
90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
八年级20名学生的竞赛成绩是：
80 80 60 95 65 100 90 80 85 85
95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
（1）直接写出：______，______，______；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）若七年级有1000人，八年级有800人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩大于80分的总人数．
【答案】（1）8、87.5、90
（2）七年级学生的竞赛成绩更好，理由见详解．
（3）1050
【解析】
【分析】（1）利用七年级抽取的总人数减去除的学生总数即可求得a值；将20名七年级学生竞赛成绩从小到大顺序排列，按中位数定义求解即可；找出八年级学生竞赛成绩处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数．
（2）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好．
（3）分别统计出七年级、八年级成绩大于80分的人数，利用样本的百分率估算总体即可得到答案．
【小问1详解】
；
将七年级竞赛成绩从小到大顺序排列后，按中位数定义可得；
因为七年级学生竞赛成绩中90分有5个，出现的次数最多，所以众数c=90．
【小问2详解】
因为七年级的竞赛成绩的平均数、中位数、众数都比八年级高，因此七年级学生的竞赛成绩更好．
【小问3详解】
由题意可知：七年级成绩大于80分的人数为13人，八年级成绩大于80分的人数为10人
∴（人）．
【点睛】本题考查了统计综合，解题关键在于熟知平均数、中位数、众数等概念，并熟练掌握用样本估计总体．
21. 如图，直线与轴交于点，与经过、两点的直线交于点．

（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）根据图像直接写出：当时，的取值范围．
【答案】（1）直线的表达式为
（2）点的坐标为
（3）当时，
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可；
（2）根据两点直线相交，联立方程组求解即可；
（3）由（2）可得点的坐标，结合图示，即可求解．
【小问1详解】
解：∵直线经过、两点，
∴，解得，，
∴直线表达式为．
【小问2详解】
解：∵直线与直线交于点，
∴，解得，，
∴点的坐标为．
【小问3详解】
解：由（2）可得，两直线的交点，
∴当时，的图像在的图像上方，
∴，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查一次函数的相关知识，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，根据图像的性质确定函数值大小等知识是解题的关键．
22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求海港到直线的距离；
（2）台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？
【答案】（1）海港到直线的距离为
（2）海港受台风影响，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理先求出的长度，再运用等面积法即可求解；
（2）根据台风半径与长度的大小比较，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴是直角三角形，
∴（），
如图所示，过点作于点，

∴，
∴（），
∴海港到直线的距离为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，海港到直线的距离为，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响，如图所示，以点为圆心，以为半径作圆，

∵，
∴海港受台风影响．
【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
23. 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）96
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边得到，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；
（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得，进而利用勾股定理求得即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，的周长为36，
∴，则，
在中，，
∴，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
24. 2022年世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别是多少元？
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种品牌的足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②若购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍，应怎样进货销售利润最大，最大利润为多少？
【答案】（1）每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元
（2）①②应购进A品牌足球个，B品牌足球个，销售利润最大，为元
【解析】
【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
【小问1详解】
解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：，
解得：，
答：每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
【小问2详解】
解：①由题意知，，
∴y与x之间的函数关系式为；
②∵购进A品牌足球的个数不超过B品牌足球个数的4倍，
∴，
解得：，
在中，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即最大利润为元．
∴应购进A品牌足球个，B品牌足球个，销售利润最大，为元．
【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
25. 【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．
①；②；③四边形面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
【答案】（1）①②③④；（2），理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，逐项判断即可求解；
（2）连接，延长交于点，连接，根据矩形的性质可得点是的中点，再证明，可得，再由线段垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理，即可求解；
（3）设．分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）在正方形和正方形中，
，
∴，
∴，故①正确；
∴，，故②正确；
∴四边形的面积，
四边形面积总等于，故③正确；
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④
（2），理由如下：
连接，延长交于点，连接，
∵是矩形的中心，
∴点是的中点．
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
在中，
∴；
（3）设．
①当点在线段上时，
∵，
∴
∵在中，，
∴，
∴，
又由（2）得：，
∴
∴，
解得．
∴．
②当点在延长线上时，同理可证
∴，
又在中，．
∴
解得．
∴
故的长度为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键成绩x（分）
七年级
2
5
a
5
八年级
3
7
5
5
统计量
平均数
中位数
众数
七年级
85.75
b
c
八年级
83.5
82.5
80
成绩x（分）
七年级
2
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a
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八年级
3
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统计量
平均数
中位数
众数
七年级
85.75
b
c
八年级
83.5
82.5
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