2024届高考数学复习知识梳理-2025新高考数学专题

这是一份2024届高考数学复习知识梳理-2025新高考数学专题，共30页。试卷主要包含了四种命题的真假关系，充分条件，含有一个量词的命题的否定，“或”“且”联结词的否定形式， f′＞0与f为增函数的关系等内容，欢迎下载使用。
①两个命题互为逆否命题，它们具有 的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性
例如： ∃t∈R t2--2t-a 0)，则函数f(x)的周期为T＝
= 8 \* GB3 ⑧若在定义域内满足f(x＋a) f(x)=k(k为常数)函数f(x)的周期为T＝
= 9 \* GB3 ⑨若在定义域内满足f(x＋a) f(x+b)=k(k为常数)函数f(x)的周期为T＝
= 10 \* GB3 ⑩若在定义域内满足f(x＋a)+f(x+b)=k(k为常数)函数f(x)的周期为T＝
（即括号内差定体现周期性）
7.对称性与周期的关系：
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)的周期为T＝ ，
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)的周期为T＝ ，
(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)的周期为T＝
8.掌握一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为 函数，函数f(x)＝ax－a－x为 函数；
(2)函数f(x)＝eq \f(ax－a－x,ax＋a－x)＝eq \f(a2x－1,a2x＋1)(a>0且a≠1)为 函数；
(3)函数f(x)＝lgaeq \f(b－x,b＋x)为 函数；
(4)函数f(x)＝lga(eq \r(x2＋1)±x)为 函数．
9.一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是 .
(2)“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是 ．
(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥ ， a≤f(x)恒成立⇔a≤ .
(4)a≥f(x)有解⇔a≥ ， a≤f(x)有解⇔a≤ .
10.幂函数图象的性质 α0, y＝xα在第一象限内是单调递 的.
11、.(1) nan= n为奇数，n为偶数,(2) (eq \r(n,a))n＝ (注意a必须使eq \r(n,a)有意义)．
12．指数函数的图象与性质
13．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质①algaN＝ ；②lgaaN＝ (a>0，且a≠1)；③零和负数没有对数．
(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)
①lga(M·N)＝ ；
②lgaeq \f(M,N)＝
③lgaMn＝ (n∈R)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：lgbN＝ a，b均大于零且不等于1)；
②lgab＝
（4）指数式与对数式互化：ax＝N⇔x＝
（5）对数运算的一些结论：
①lgambn＝ ②lgab·lgba＝ . = 3 \* GB3 ③lgab·lgbc·lgcd＝
14.对数函数的图象与性质
导 数
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limfx0+∆x-f(x0)∆x＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) imfx0+∆x-f(x0)∆x.
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的 ．相应地，切线方程为
2．基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝______________________．
(2)[f(x)·g(x)]′＝_______________________．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝_____________________(g(x)≠0)．
4.(1)含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
①a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；
②a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
(2)含全称、存在量词不等式能成立问题
①存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；
②任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
5．常见构造辅助函数的几种类型
（1）出现, 构造=
（2）出现，构造=
（3）出现, 构造=
（4）出现, 构造=
（5）对于不等式f ′(x)＋g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
（6）对于不等式f ′(x)－g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
特别地，对于不等式f ′(x)＞k，构造函数F(x)＝
(7)对于不等式f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
(8)对于不等式f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，构造函数F(x)＝
(9)对于不等式xf ′(x)＋nf(x)＞0，构造函数F(x)＝ ．
(10)对于不等式f ′(x)＋kf(x)＞0，构造函数F(x)＝ ．
6．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为即y对x的导数等于 的导数与
7.求曲线y＝f(x)的切线方程
若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程．
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出 第二步：写出 ；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 ；
第四步： 可得过点P(x0，y0)的切线方程．
8．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系
(1)若f ′(x)>0，则f(x)在这个区间上是 的；
(2)若f ′(x)0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
3、圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
（1）几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
（2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
【 注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
知识点5 由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
①若l1∥l2 ⇔ A1B2＝A2B1
②若l1⊥l2 ⇔ A1A2＋B1B2＝0
③与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)
与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋m＝0
第一部分 椭圆
一、椭圆的标准方程
二、椭圆的简单几何性质
1．椭圆的简单几何性质
2.离心率的性质
第二部分 双曲线
一、双曲线的标准方程
二、焦点三角形问题
双曲线上一点P与其两个焦点F1、F2连接而成的三角形⊿PF1F2称为焦点三角形。
①定义：
②余弦定理：
③面积公式： ； ；
三、双曲线的几何性质
1.双曲线的简单几何性质
2.等轴双曲线
(1)定义： 等长的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：
①一般方程形式： .
②渐近线方程： .
③离心率e＝ .
注意：具有相同渐近线的双曲线y＝±eq \f(b,a)x的双曲线可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0，λϵ R)
当λ＞0时，焦点在x轴上； 当λ＜0时，焦点在y轴上；
第三部分 抛物线
一、抛物线的定义
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l( )的 的点的轨迹叫做
抛物线．
专题08 立体几何
知识点一 简单几何体
(1)简单旋转体的结构特征：
①圆柱可以由______________绕其任一边旋转得到；
②圆锥可以由直角三角形绕其_____________旋转得到；
③圆台可以由直角梯形绕 或等腰梯形绕 旋转得到，也可由 的平面截圆锥得到；
④球可以由半圆或圆绕 旋转得到．
(2)简单多面体的结构特征：
①棱柱的侧棱都 ，上下底面是 的多边形；
②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形；
③棱台可由 的平面截棱锥得到，其上下底面是 多边形．
知识点二 直观图
(1)画法：常用 .
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 ，z′轴与x′轴
和 y′轴所在平面 .
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 .平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中 .
• 温馨提醒 •直观图与原图形面积的关系S直观图＝ S原图形(或S原图形＝ S直观图)．
知识点 柱、锥、台和球的面积和体积
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 .
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
• 温馨提醒 •二级结论
1．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
Ⅱ：空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点一 平面的基本性质及推理
1．平面的基本性质
(1)基本事实1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)基本事实2：过 的三点，有且只有一个平面．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．基本事实2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
知识点二 空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况．
直线、平面平行的判定及其性质
知识点一 线面平行（判定定理与性质定理）
知识点二 面面平行(判定定理与性质定理)
• 温馨提醒 •
平面与平面平行的几个有用性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一 直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
知识点二 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
专题08 数列
一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
三．常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件
p是q的 条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的 条件
p⇒ q且q⇒p
p是q的 条件
p⇔q
p是q的 条件
p⇒ q且q⇒ p
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
奇偶性
定 义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，
那么函数f(x)是偶函数
关于 对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数
关于 对称
00时， ；
当x0时， ；
当x1
00)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
轴长
短轴长|B1B2|＝_______，长轴长|A1A2|＝_______
焦点
F1 ，F2____________
F1 ，F2____________
焦距
|F1F2|＝2c
范围
对称性
对称轴为_________，对称中心为__________
顶点
离心率
e＝eq \f(c,a)(00)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图 形
性质
范围
或 ，y∈
或 ，x∈
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点

轴
实轴：线段 ，长： ；
虚轴：线段 ，长： ；
半实轴长： ，半虚轴长：
离心率
e＝ ∈
渐近线


抛
物
线
x
y
O
l
F
x
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
范围
对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦 点弦 长
x
F
y
焦点弦的几条性质
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为，则
若的倾斜角为，则

切线
方程
侧面积
体积
圆柱
S侧＝
V＝ ＝πr2h
圆锥
S侧＝
V＝ ＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr2eq \r(l2－r2)
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h＝eq \f(1,3)π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝
V＝
正棱锥
S侧＝
V＝
正棱台
S侧＝eq \f(1,2)(C＋C′)h′
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S球面＝
V＝eq \f(4,3)πR3
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
平面外一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
性
质
定
理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
一个平面内的两条 与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
性
质
定
理
如果两个平行平面同时和第三个平面 ，那么它们的 平行
文字语言
图形表示
符号表示
判
定
定
理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性
质
定
理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线
文字语言
图形表示
符号表示
判
定
定
理
一个平面经过另一个平面的一条 ，则这两个平面互相垂直
性
质
定
理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面