专题02 三角恒等变换（考点清单，21题型解读）（原卷+解析）

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【考点题型一】两角和与差的余弦
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ；
简记为：“同名相乘，符号反”．
【规律方法】
正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值” 问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．
【例1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知，则 ．
【变式1-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若存在，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型二】两角和与差的余弦公式的变用
1.cs(α－β)－csαcsβ＝sinαsinβ．
2.公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如csα＝cs[(α＋β)－β]，cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]．
【例2】（2024高一下·江苏·专题练习）（1）已知，求和的值．
（2）已知，且，，求的值．
【变式2-1】（22-23高一下·江苏苏州·期末）（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·广东广州·模拟预测）已知，且为钝角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ．

【考点题型三】两角和与差的正弦
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ；
【点拨】
①简记为：“异名相乘，符号同”．
②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.
【例3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知.
(1)求；
(2)求.
【变式3-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习） .
【变式3-3】（23-24高一下·江苏常州·期中）已知角的终边经过点，则 ．
【考点题型四】两角和与差的正弦公式的变用
给值求值问题的解题策略．
(1)从角的关系中找解题思路：
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换．
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【例4】（2020·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】【多选题】（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知，满足，，，，则______．
【考点题型五】两角和与差的正切
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
【点拨】
公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立.
②当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．
【例5】（2018·全国·高考真题）已知，则 ．
【变式5-1】（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A．B．7C．D．
【变式5-2】（2015·江苏·高考真题）已知，，则的值为 ．
【变式5-3】（2020·浙江·高考真题）已知，则 ； ．
【考点题型六】两角和与差的正切的变用
变形公式：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，
如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)，
tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)，
1－tanαtanβ＝．
1＋tanαtanβ＝．
【规律方法】
1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．
2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．
3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
【例6】（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）（ ）
A．B．C．1D．
【变式6-2】（全国·高考真题） .
【变式6-3】（23-24高一下·江苏扬州·期中）计算： ．
【考点题型七】辅助角公式
asinx＋bcsx＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论＝±1，±，±的情况
常用： .
【例7】（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
【变式7-1】（2008·全国·高考真题）函数的最大值为
A．1B．C．D．2
【变式7-2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知的最大值为3，则 .
【变式7-3】求值：．
【考点题型八】二倍角的正弦
S2α：sin2α＝2sinαcsα
【例8】（2004·天津·高考真题）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式8-1】（2006·湖北·高考真题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2020·江苏·高考真题）已知 =，则的值是 .
【变式8-3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求的值.
【考点题型九】二倍角的余弦
C2α：cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
【例9】（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式9-1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知，，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2018·全国·高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．B．C．D．
【变式9-3】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【考点题型十】二倍角的正切
T2α：tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)；
公式应用的条件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，当α＝kπ＋ (k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式
【例10】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】【多选题】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式10-3】（2008·北京·高考真题）若角的终边经过点，则的值为 ．
【考点题型十一】二倍角公式的逆用、变用
1.逆用形式：
2sinαcsα＝sin2α；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α；csα＝eq \f(sin2α,2sinα)；
cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α＝cs2α；
eq \f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α．
2.变形用形式：
1±sin2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcsα＝(sinα±csα)2；
1＋cs2α＝2cs2α；
1－cs2α＝2sin2α；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)．
【例11】（2022秋·江苏常州·高一校考期末）计算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
【变式11-1】（2021·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】【多选题】（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列选项中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【考点题型十二】给值求角问题
【规律方法】解题的一般步骤是：
（1）先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；
（2）根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、csα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)所得范围内是单调函数；
（3）求α的一个三角函数值；
（4）写出α的大小．
【例12】（2007·四川·高考真题）已知，，且.
（1）求的值；
（2）求.
【变式12-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【变式12-2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角，满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式12-3】（23-24高一下·江苏常州·期中）已知为钝角，．
(1)求的值；
(2)若锐角满足，求的值．
【考点题型十三】三角函数式化简问题
1.三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
【例13】（2023·高一课时练习）化简并求值．
(1)；
(2)；
(3)．
【变式13-1】（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式13-2】（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）（ ）
A．1B．C．D．
【变式13-3】（2022·高一课时练习）化简：___________.
【考点题型十四】三角恒等式证明问题
三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
【例14】（22-23高一下·山东烟台·期中）观察以下各式：
；
；
．
分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式．
【变式14-1】（2024高一上·全国·专题练习）证明：．
【变式14-2】（22-23高一·全国·课后作业）角可以看成与的和，也可以看成与的和．同理，角可以看成与的差，也可以看成与的差，利用正弦的和差去证明：．
【变式14-3】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）（1）化简：
（2）证明恒等式：
【考点题型十五】积化和差公式
sinαcsβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
csαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
csαcsβ＝[cs(α＋β)＋cs(α－β)]，
sinαsinβ＝－[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
【例15】（2020·江苏无锡·模拟预测）已知，求的值.
【变式15-1】 （21-22高一·江苏·课后作业）计算:sin 20°cs 70°+sin 10°sin 50°.
【变式15-2】（21-22高一·湖南·课后作业）利用积化和差公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【变式15-3】（18-19高一·全国·课后作业）求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【考点题型十六】和差化积公式
sinx＋siny＝2sincs，
sinx－siny＝2cssin，
csx＋csy＝2cscs，
csx－csy＝－2sinsin．
【例16】（20-21高一下·全国·课后作业）求下列各式的值：
(1)；
(2).
【变式16-1】（23-24高三下·河南·阶段练习）若 则（ ）
A．B．C．D．
【变式16-2】（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式16-3】（2023·江苏·高一专题练习）把下列各式化成积的形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点题型十七】半角公式
sin＝±，cs＝± ，tan＝±.符号由所在的象限决定．
另：tan＝＝.不含被开方数，且不涉及符号问题，但应用时需要注意该公式成立的条件．
【例17】（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）数学里有一种证明方法叫做Prfwithutwrds，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ）
B．
C．D．
【变式17-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式17-2】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【变式17-3】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，则 ．
【考点题型十八】万能公式
设，则，，.可结合图中直角三角形的边角关系理解记忆.
【例18】（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
【变式18-1】（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．或
【变式18-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知.求证：.
【变式18-3】（2022·高一课时练习）已知且，求：
(1)；
(2)．
【考点题型十九】三角恒等变换与三角函数图象和性质
当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acs(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
【例19】（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【变式19-1】（2011·全国·高考真题）设函数，则（）
A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；
C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；
【变式19-2】（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【变式19-3】（2017·浙江·高考真题）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
【考点题型二十】三角恒等变换与平面向量
向量运算与三角函数交汇问题解题关键点：
（1）根据向量的坐标运算，建立三角函数关系式；
（2）对三角函数关系式，运用同角关系、两角和差、二倍角公式等进行恒等变形；
（3）运用换元法转化为，借助的性质分析解决问题.
【例20】（2017·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
【变式20-1】【多选题】（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式20-2】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知向量，，，若，则______．
【变式20-3】（2023春·甘肃甘南·高一校考期中）向量，向量．
(1)求；
(2)若向量与向量共线，，求的模的最小值．
【考点题型二十一】三角恒等变换公式的综合应用
1.三角函数式的化简，主要有以下几类：
(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简．
2.三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．
3. 三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心.
【例21】（23-24高一下·江苏扬州·期中）设是钝角，．
(1)求的值；
(2)求和的值．
【变式21-1】（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式21-2】（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知，，且满足．
(1)证明：；
(2)求的最大值．
【变式21-3】（2018·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．