高一数学下册考试真题强化训练 期末专题02 三角恒等变换小题综合原卷版+解析

这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题02 三角恒等变换小题综合原卷版+解析，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）在平面直角坐标系中，若曲线与在区间上交点的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）.
A．B．C．D．
8．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）下列等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022秋·江苏盐城·高一校考期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知，函数，若，则（ ）．
A．B．C．1D．
12．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知函数，若方程在上恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022春·江苏南通·高一统考期末）中，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2022秋·江苏苏州·高一统考期末）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．的图象关于点对称
C．图象的对称轴方程为
D．在上有4个零点
18．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数，则（ ）
A．对任意正奇数，为奇函数
B．对任意正整数，的图象都关于直线对称
C．当时，在上的最小值为
D．当时，的单调递增区间是
19．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．最小正周期为B．在上单调递增
C．值域为D．若为的一条对称轴，则
20．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，，函数，则（ ）
A．若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于点对称
B．若f(x)的图象关于直线称，则ω可能为
C．若f(x)在上单调递增，则
D．若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为
22．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）tan75°＝（ ）
A．B．C．D．
23．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）计算下列各式的值，其结果为1的有（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在区间上单调递增B．是的一个周期
C．的值域为D．的图象关于轴对称
25．（2022秋·江苏无锡·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．当时，的最小正周期是B．当时，的值域是
C．当时，为奇函数D．对的图象关于直线对称
三、填空题
26．（2022春·江苏南京·高一统考期末）___________.
27．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）求值：_______．
28．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．
29．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）的值为_____________．
30．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知，则________．
31．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知是锐角，，则的值是_________．
32．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知是方程的两根，且，则的值等于______________.
33．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）已知，且，则的值为______．
34．（2022春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．
35．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）如图，正方形的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记，的长度之和为．则的最大值为___________．
期末专题02 三角恒等变换小题综合
一、单选题
1．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦公式及平方关系，结合正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】由，得，即，
两边平方，得，即.
故选：A.
2．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.
【详解】，
故选：C
3．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】设，则，故，故，则
故选：D
4．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二倍角公式，诱导公式，正弦函数的性质比较大小，再利用三角函数线证明为锐角时，，从而可比较大小，得出结论．
【详解】，
又，所以， 即，
利用三角函数线可以证明为锐角时，，
如图，在单位圆中，以为始边，为顶点作出角，其终边与单位圆交于点，过单位圆与轴正半轴交点作轴的垂线，角的终边与这条垂线交于点，
则，劣弧的长为，
扇形的面积为，面积为，
由图形，易知，即，所以，
所以，，
所以．
故选：D．
5．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）在平面直角坐标系中，若曲线与在区间上交点的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在区间上，联立，即可解出．
【详解】在上，由可得，而，所以，，即或，而，所以．
故选：D．
6．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．
【详解】由题意可得：，整理得，即
∴
故选：C．
7．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得、、，根据正弦函数的性质判断大小.
【详解】，
，
，
所以.
故选：B
8．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）下列等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】A应用差角正弦公式化简；B应用和角正切公式化简；C应用诱导公式及差角正弦公式化简；D写出特殊角的函数值，将分子因式分解化简求值.
【详解】A：，正确；
B：，正确；
C：，错误；
D：，正确；
故选：C
9．（2022秋·江苏盐城·高一校考期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角恒等变换将等式化简为，即可求出，进一步求出，，即可求出.
【详解】因为，则，
则，因为，所以，
所以，
所以
，
因为，所以.
故选：A.
10．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求，
，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角的大小.
【详解】因为 ，
，
而，，所以，，，，所以．
故选：D．
11．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知，函数，若，则（ ）．
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解.
【详解】解：令，，则或，
令，，则，
又，，
所以，，，，
因为，，
所以，，
所以，
故选：A.
12．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出.
【详解】因为，
所以，
整理得：，
，
，
因为，
所以，
所以，
解得：
故选：D.
13．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出雨水流下时间的最小值对应的值.
【详解】设雨水的质量为，下滑加速度为，，取的中点，连接.
则,且.
因为，所以；
在直角三角形中，
所以
当,即时等号成立，
故选：B.
14．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知函数，若方程在上恰有四个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，将问题转化为与有两个交点，注意正弦函数值对应自变量的个数确定a的范围.
【详解】由题设在上恰有四个不同的解，
令，则与有两个交点，而，
注意：时，则对应在上有一个解；
或时在只有一个对应值，则对应在上有两个解；
时或，对应在上有三个解；
时在只有两个对应值，此时对应在上有四个解；
综上，.
故选：C
15．（2022春·江苏南通·高一统考期末）中，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得，利用基本不等式得，利用两角和的正切公式表示，结合以上条件即可求解的取值范围．
【详解】∵，∴，
∵，即，
∴，
两边同时除以，得，
∵，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，即，
，
∵，∴，
∴，
∴，即的取值范围是．
故选：A．
二、多选题
16．（2022秋·江苏苏州·高一统考期末）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D.
【详解】.
对于A，；
对于B，
；
对于C，；
对于D，因为，可得.
∴与的值相等的是ABD.
故选：ABD.
17．（2022秋·江苏连云港·高一校考期末）已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．的图象关于点对称
C．图象的对称轴方程为
D．在上有4个零点
【答案】ACD
【分析】先通过降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式将函数化简，进而结合三角函数的图象和性质解得答案.
【详解】
，
则的最大值为，A正确；
易知图象的对称中心的纵坐标为，B错误；
令，得，
此即图象的对称轴方程，C正确；
由，得，
当时，，作出函数的图象，如图所示：
所以方程在上有4个不同的实根，
即在上有4个零点，D正确.
故选：ACD.
18．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数，则（ ）
A．对任意正奇数，为奇函数
B．对任意正整数，的图象都关于直线对称
C．当时，在上的最小值为
D．当时，的单调递增区间是
【答案】BCD
【分析】对A：取，易得不是奇函数，从而即可判断；对B：利用诱导公式计算即可判断；对C：利用三角函数的知识即可求解；对D：时，利用三角恒等变换化简解析式得，从而即可求解.
【详解】解：对A：取，则，此时，所以不是奇函数，故选项A错误；
对B：因为，所以的图象关于直线对称，故选项B正确；
对C：当时，，因为，所以，
所以，所以，所以在上的最小值为，故选项C正确；
对D：当时，，
由，可得，则的递增区间为，故选项D正确．
故选：BCD.
19．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．最小正周期为B．在上单调递增
C．值域为D．若为的一条对称轴，则
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式化简可得，根据余弦型函数的最小正周期、单调性、值域和对称性的求法依次判断各个选项即可.
【详解】；
对于A，的最小正周期，A错误；
对于B，当时，，在上单调递增，B正确；
对于C，，，即的值域为，C正确；
对于D，若为的一条对称轴，则或，D错误.
故选：BC.
20．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】选项A逆用二倍角的正弦求值；选项B逆用二倍角的正切求值；选项C逆用两角和的余弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.
【详解】解：因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，整理得，，故选项D错误；
故选：AC.
21．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，，函数，则（ ）
A．若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于点对称
B．若f(x)的图象关于直线称，则ω可能为
C．若f(x)在上单调递增，则
D．若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，则ω的最小值为
【答案】BC
【分析】首先化简函数，再根据三角函数的周期，对称，单调性，以及图象平移，即可判断选项.
【详解】



,
A.若函数的最小正周期为，则，即 ，当时，，此时，所以函数关于对称，故A错误；
B.若函数的图象关于直线对称，则，，得，，所以的可能为，故B正确；
C. 当时，，则，解得：，故C正确；
D.函数的图象向左平移个单位长度后得到，
函数是偶函数，则当时，，得，，且，所以的最小值是，故D错误.
故选：BC
22．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）tan75°＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A，由正切半角公式判断BC，由，令即可判断出D.
【详解】，故 A正确；
由正切的半角公式知，故B错误；
，故C正确；
∵，令，得，可得D正确.
故选：ACD.
23．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）计算下列各式的值，其结果为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.
【详解】对于A，
，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，
，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：ACD.
24．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在区间上单调递增B．是的一个周期
C．的值域为D．的图象关于轴对称
【答案】CD
【解析】代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，
，
所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；
对于B：，
所以不是的一个周期，故B错误；
对于C：，所以的周期为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上：的值域为，故C正确；
对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，
故选：CD
【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.
25．（2022秋·江苏无锡·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．当时，的最小正周期是B．当时，的值域是
C．当时，为奇函数D．对的图象关于直线对称
【答案】ABD
【分析】先把n值代入函数的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、值域；依据定义去判断奇偶性、对称轴即可解决.
【详解】选项A：当时，
最小正周期是.判断正确；
选项B：当时，
的值域是.判断正确；
选项C：当时，
则
故，即不是奇函数. 判断错误；
选项D：
则的图象关于直线对称. 判断正确.
故选：ABD
三、填空题
26．（2022春·江苏南京·高一统考期末）___________.
【答案】##
【分析】利用正切的差角公式进行求解.
【详解】
故答案为：
27．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）求值：_______．
【答案】
【分析】根据二倍角的正弦公式逆用，计算即可得答案.
【详解】由题意得.
故答案为：
28．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．
【答案】
【分析】由以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，可得，进而可得，从而利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】解：因为以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，所以，
所以在直角三角形中，
因为，所以，
所以，
故答案为：.
29．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）的值为_____________．
【答案】##
【分析】根据，结合两角和的正切公式求解即可
【详解】
故答案为：
30．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知，则________．
【答案】
【分析】由两角差的正弦公式展开，由商数关系求得，然后由二倍角的正切公式计算．
【详解】，
，．
故答案为：．
31．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知是锐角，，则的值是_________．
【答案】##
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.
【详解】由于是锐角，，
所以，
所以.
故答案为：
32．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知是方程的两根，且，则的值等于______________.
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合两角和的正切公式进行求解即可.
【详解】已知是方程的两根，
所以有，
，
因为，
所以，
故答案为：
33．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）已知，且，则的值为______．
【答案】
【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】
，
故答案为：
34．（2022春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．
【答案】
【分析】取线段MN的中点P，结合向量数量积求出边AB上的高CO，进而求出的正余弦即可求解作答.
【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，
依题意，，
因的最小值为3，则的最小值为2，因此，
在中，，，在中，，，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.
35．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）如图，正方形的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记，的长度之和为．则的最大值为___________．
【答案】
【分析】由题意结合三角恒等变换得到且，令，进一步得到，由函数单调性求最大值即可.
【详解】由题设，，，
而，故，
所以，
综上，且，
所以，
令，则，
所以，故在上递减，
所以，此时或.
故答案为：