专题08 统计与概率（考点清单，16题型解读）（原卷+解析）

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【考点题型一】简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
【例1】（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A．20B．26C．17D．03
【答案】D
【分析】先把编号按要求在随机数表中选出来，再剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，即可得到选出的个体编号.
【详解】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，
选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…，
剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，
则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…，
所以选出来的第5个个体的编号为03.
故选：.
【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些
B．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些
C．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
D．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用简单随机抽样的意义逐项判断即得.
【详解】在简单随机抽样中，每个个体每次被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关，A，B，D错误，C正确．
故选：C
【变式1-2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
66 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 21 14 32 52 41 52 48
A．54B．14C．21D．32
【答案】B
【分析】根据随机数表法可得结果.
【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复），
21，14，32，故第5个编号为14，
故选：B.
【变式1-3】（2024高一·全国·专题练习）欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 .


【答案】10
【分析】根据随机数表，写出样本的前4个个体的编号，即可得出结果
【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，19，98，10，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4个被抽取的样本的编号为10.
故答案为：10
【考点题型二】分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样
【例2】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示：
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
(1)求的值；
(2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数.
【答案】(1)
(2)，50，40，10.
【分析】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去会场的各年级人数，由此可得比例.
（2）由B会场的高二学生人数求得样本容量，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数．
【详解】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，
则去A会场的学生总数为，去B会场的学生总数为，
则对应人数如下表所示：
则.
（2）依题意，，解得，则抽到的A会场的学生总数为100人，
所以高一年级人数为，高二年级人数为，高三年级人数为.
【变式2-1】（23-24高一下·河南·阶段练习）为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】A
【分析】利用分层抽样比与总体抽样比相等即可求出答案.
【详解】依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为.
故选：A.
【变式2-2】（2024高二下·湖南·学业考试）某企业有三个分厂生产同一种电子产品，第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取200件做使用寿命的测试，则第三分厂应抽取的件数为（ ）
A．20B．40C．60D．100
【答案】B
【分析】根据题意，结合分层抽样的概念及计算方法，即可求解.
【详解】由第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%，
则抽取200件中，则第三分厂应抽取的件数为件.
故选：B.
【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生的人数如表：
已知高二年级女生比高一年级女生多53人．
(1)高二年级有多少名女生？
(2)现对各年级用比例分配的分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，应从高三年级抽取多少名学生？
【答案】(1)540名
(2)90名
【分析】（1）根据题意可以求解；（2）根据总人数人，根据分层抽样抽取名，计算出来高三人数.
【详解】（1）由，解得，
所以高二年级有名女生．
（2）高三年级人数为，
所以，
故应从高三年级抽取90名学生．
【考点题型三】频率分布直方图
1．频率分布直方图
(1)纵轴表示eq \f(频率,组距)，即小长方形的高＝eq \f(频率,组距)；
(2)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1.
2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq \f(极差,组数)；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
【例3】（2024高一下·全国·专题练习）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
(1)确定样本频率分布表中，，和的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图与折线图．
【答案】(1)，， ，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用给定的数据组求出，，和的值.
（2）由（1）及已知画出样本频率分布直方图与折线图.
【详解】（1）依题意，，，所以，.
（2）样本频率分布直方图与折线图如图，
【变式3-1】（22-23高一·全国·随堂练习）下面是2016年我国部分主要城市的年平均气温（单位：℃）：
(1)将以上数据进行适当分组，并画出相应的频率分布直方图．
(2)以上各城市年平均气温在，，，中，哪一个范围的最多？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据所给数据画出频率分布表，根据频率分布表画出频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图直接得出结论．
【详解】（1）由题意得，频率分布表如下：
频率分布直方图如图：

（2）由图可知以上各城市年平均气温在的最多．
【变式3-2】（2023高一上·全国·专题练习）某单位名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.
(1)补全表格中的数据（不需要写过程）；
(2)现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第组分别抽取的人数；
【答案】(1)答案见解析；
(2)年龄第组人数分别是1人，1人，4人；
【分析】（1）由频率分布直方图各组小矩形的高度的关系求解即可；
（2）根据分层抽样的方法求解即可；
【详解】（1）由频率分步直方图可知，，两组的人数与组的人数相等，均为人，
第3组的人数是第一组人数的4倍，为人，
第4组的人数是第一组人数的3倍，为人
所以，表格中的数据为：第2组的人数为20人，第3组的人数为80人，第4组的人数为60人，第5组的人数为20人.
（2）由频率分布表和频率分布直方图知：
第1组的频率为，
第2组的频率为，
第3组的频率为，
第组的人数比为，
要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，
所以，年龄第组人数分别是1人，1人，4人.
【变式3-3】（2024高一下·江苏·专题练习）有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：，4；，9；，5；，8；，10；，3；，11.
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率直方图及频率折线图.
【答案】(1)频率分布表见解析
(2)频率直方图及频率折线图见解析
【分析】（1）由各组的频数除以样本容量即可求得频率分布表；
（2）根据（1）中的频率除以组距得到各组的纵坐标，进而绘制出频率分布直方图，然后连接各个小矩形顶端的中点得到频率分布折线图.
【详解】（1）由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表.
（2）频率直方图如图1所示，频率折线图如图2折线部分所示.


【考点题型四】总体百分位的估计
百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.
【例4】（2024高三下·全国·专题练习）为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为 .
【答案】84.55
【分析】利用第70百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可.
【详解】由题意得，
解得，
因为前4组数据的频率之和为，
前5组数据的频率之和为，
则分位数在内，设分位数为x，
则，解得，
所以分位数约为.
故答案为：
【变式4-1】（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为（ ）
A．6.5B．7C．9D．12
【答案】D
【分析】根据百分位数概念计算即可.
【详解】因为，所以该组数据的分位数是第7个数12.
故选：D.
【变式4-2】（2024·江西南昌·三模）我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为7，2，4，4，6，1，8，则这组数据的分位数为（ ）
A．1B．2C．8D．7
【答案】D
【分析】由百分位的定义计算即可得到答案.
【详解】由某个密码使用的符号对应的字节数从小到大排列后为1，2，4，4，6，7，8，
可得，所以这组数据的分位数为7．
故选：D．
【变式4-3】（浙江省县域教研联盟2023-2024学年高二下学期学业水平模拟考试数学试题）某数学兴趣小组20名成员在规定时间内独立解答6个数学问题，最终结果如下：有1人解出1个问题，有1人解出2个问题，有4人解出3个问题，有4人解出4个问题，有5人解出5个问题，有5人解出6个问题，则解出问题个数的第三四分位数为（ ）
A．3B．4.5C．5D．5.5
【答案】D
【分析】根据百分位数计算规则，以及第三四分数的定义，就可求解.
【详解】根据第三四分数定义，等价于是求75%分位数，
首先从小到大排序，1，2，3，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，
因为，所以第三四分位数为第15位和第16位两个数的平均数，
即，
故选：C.
【考点题型五】总体集中趋势的估计
1.众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；
2.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；
3.平均数：反应一组数据的平均水平；
4．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
【例5】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：



(1)列出样本的频率分布表；
(2)补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
(3)当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
【答案】(1)分布表见解析；
(2)频率分布直方图见解析；平均数为2.02，中位数为2.02，众数为2.25；
(3)政府的解释是正确的，原因见解析.
【分析】（1）根据100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数列出频率分布表.
（2）根据（1）的频率分布表画出直方图，根据众数、中位数和平均数定义求解.
（3）先算出人均月用水量在以上的居民所占的比例即可.
【详解】（1）频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如图：
平均数：
.
中位数：用水量在的频率为：，
所以中位数为.
众数为：.
（3）因为人均月用水量在以上的居民所占的比例为，
即大约有的居民月用水量在以上，
的居民月用水量在以下，
因此政府的解释是正确的.
【变式5-1】（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（ ）
A．图（1）的平均数=中位数=众数B．图（2）的众数<中位数<平均数
C．图（2）的平均数<众数<中位数D．图（3）的平均数<中位数<众数
【答案】C
【分析】根据平均数、中位数、众数的概念，结合图形分析即可求解.
【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；
图（2）中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；
图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故选：C
【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.
【详解】
根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论:
众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.
因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，
右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，
因此有.
故选：C.
【变式5-3】（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
【答案】(1)2
(2)，
【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得，再根据各层的人数比例抽取；
（2）利用平均数和中位数公式求解.
【详解】（1）由，
得，
因为（人），（人），
所以不高于50分的抽取（人）.
（2）平均数
，
因为在内共有人，
在内共有人，
所以中位数位于内，
则中位数为.
【考点题型六】总体离散程度的估计
1.方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]，方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－n eq \x\t(x)2]或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \x\t(x)2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
2.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2])
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.
3.总体方差与总体标准差
【例6】（2024高一下·全国·专题练习）据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
【答案】(1)答案见解析
(2)平均数是5333元，中位数是4000元，众数是4000元
(3)答案见解析
【分析】（1）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解；
（2）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解；
（3）结合题意以及数据的数字特征，言之有理即可.
【详解】（1）平均数是（元），
中位数是4000元，众数是4000元．
（2）平均数是，
中位数是4000元，众数是4000元．
（3）中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，
这样导致平均数与中位数（众数）偏差较大（平均数受极端值影响较大），
所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
【变式6-1】【多选题】（2024·黑龙江·三模）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ）
A．平均数是B．中位数是
C．方差是D．极差是
【答案】BC
【分析】A选项，根据平均数定义计算出的平均数为；B选项，根据中位数的定义得到的中位数为；C选项，利用方差的定义得到C正确；D选项，利用极差的定义得到的极差为.
【详解】A选项，由题意得，
则，
则的平均数是，A错误；
B选项，从小到大排列后为，
取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即，
由于，故从小到大排列为，
取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即，B正确；
C选项，由题意得，
则
，故方差是，C正确；
D选项，从小到大排列后为，
故，
其中从小到大排列后为，
则，故极差是，D错误.
故选：BC
【变式6-2】（2024高二下·湖南·学业考试）两名射击运动员在10次测试中的成绩分别如下（单位：环）：
则甲的样本方差 乙的样本方差，可以估计 运动员的成绩更加稳定．（前面一空选填“大于”或“小于”，后面一空选填“甲”或“乙”）
【答案】 小于 甲
【分析】分别计算甲乙运动员射击成绩的平均数及方差即可得出结论.
【详解】甲成绩的平均数，
方差，
乙成绩的平均数，
方差，
由以上数据可知，甲的方差小于乙的方差，甲运动员的成绩更稳定.
故答案为：小于；甲
【变式6-3】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.
(1)求第届亚运会中国队获得的金牌数的极差；
(2)剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；
(3)设第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）将数据从小到大排列，找出最大值及最小值，解出极差即可；
（2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，计算出平均数即可；
（3）通过折线图观察比较出第届亚运会中国队获得的金牌数与第届亚运会中国队获得的金牌数的波动情况即可判断.
【详解】（1）由题意知：第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为.
（2）剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：.
（3）可判断出，理由如下：
因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以.
【考点题型七】统计图表及其应用
1.茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．
①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一；
②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
2.条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．
3.折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．
4.扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．
【例7】（23-24高一下·贵州铜仁·期中）年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）

A．成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半
C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多
【答案】D
【分析】求得前名的人中，高一人数和高二人数判断选项A；求得成绩第1-名的人中，高一人数判断选项B；求得成绩第1-50名的50人中，高三最多有多少人判断选项C；求得成绩第51-名的50人中，高二人数与高一人数的关系判断选项D.
【详解】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多
(人).故选项A判断正确；
由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等，
因此高一人数为，故选项B判断正确；
成绩第1-50名的50人中，高一人数为,
因此高三最多有32人. 故选项C判断正确；
成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误.
故选：D
【变式7-1】（2024高一下·全国·专题练习）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰．为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图（如图所示）．
由两个统计图可知，选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为（ ）
A．500，B．250，C．500，D．250，
【答案】A
【分析】首先根据频率和频率求总的受调查市民的总人数，再根据比例关系即可求解.
【详解】设接受调查市民的总人数为x，
由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知选择a的人数比列为，解得．
∴选择d的人数为，
∴扇形统计图中e的圆心角数为.
故选：A
【变式7-2】【多选题】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ）
A．A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多
B．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为
C．图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为
D．若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变
【答案】ABD
【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可.
【详解】由图中统计数据，可得市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确；
因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故B正确；
因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故C错误；
若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确.
故选：ABD
【变式7-3】【多选题】（2024高一下·全国·专题练习）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”．如图是某市2023年空气质量指数(AQI)的月折线图．下列关于该市2023年空气质量的叙述中，说法正确的是（ ）
A．全年平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良
B．每月都至少有一天空气质量为优
C．2月、8月、9月和12月均出现污染天气
D．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份
【答案】ABC
【分析】根据折线图观察可得答案.
【详解】对于A，根据AQI指数月折线图可知，全年平均AQI指数都小于100，故全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良，故A正确；
对于B，每个月AQI指数的最小值不超过50，故B正确；
对于C，2月、8月、9月和12月的AQI指数的最大值超过了100，故C正确；
对于D，从折线图只能知道，2月AQI指数的最大值最大，不能说明2月的空气质量为“污染”的天数最多，故D不正确．
故选：ABC
【考点题型八】事件的概念
1．事件的相关概念
2．随机事件的概率
对于给定的随机事件，在相同的条件，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作.
【例8】（2024高三·全国·专题练习）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示
假设汽车A只能在约定日期某月某日的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发将频率视为概率，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为（ ）
A．公路1和公路2B．公路2和公路1C．公路2和公路2D．公路1和公路1
【答案】A
【分析】将频率视为概率，分别计算汽车，选择公路1和公路2按时到达的概率，以此判断最佳路径.
【详解】频率分布表如下：
设，分别表示事件“汽车A选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车A选择公路2时在约定时间内将货物运至城市乙”，
，分别表示事件“汽车B选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车B选择公路2时在定时间内将货物运至城市乙”，
以频率估计概率得，，，，
所以汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为公路1和公路2.
故选：.
【变式8-1】（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设该校有a名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2 h的学生中近视人数；再用频率估计概率即可求解.
【详解】设该校有a名同学，
则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h.
因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%
所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a，
则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视，
所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为．
故选：B．
【变式8-2】【多选题】（22-23高一下·全国·课后作业）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．下一个路口碰到红灯
B．在标准大气压下，水在时结冰
C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签
D．若，则不小于0
【答案】AC
【分析】选项AC是随机事件；选项B不可能事件；是选项D是必然事件．
【详解】对于A，下一个路口碰到红灯是随机事件；
对于B，在标准大气压下水在时结冰，则水在时结冰是不可能事件；
对于C，从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签是随机事件；
对于D，若，则不小于0是必然事件．
则题给事件中，是随机事件的是AC.
故选：AC
【变式8-3】（23-24高一下·全国·随堂练习）在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10．
其中 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件．(填序号)
【答案】 ③④ ② ①
【分析】根据必然事件、不可能事件以及随机事件的定义，可得答案.
【详解】200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，
不是一级品的件数最多为8，小于10，从而有可能全部是一级品，也有可能不全是一级品．
故答案为：③④；②；①.
【考点题型九】古典概型
1.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
概率公式：P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
2.一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验的等可能基本事件有n个,即基本事件空间有n个样本点,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A包含m个样本点，那么事件A发生的概率P（A）=.
【例9】（2024·全国·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项．甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型可以得到所求概率.
【详解】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为，
则两人选择比赛项目的情况有，共6种，
其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，共2种，
故所求概率．
故选：D．
【变式9-1】（2024·内蒙古包头·一模）某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列出所有可能，再找出符合要求的情况即可得.
【详解】设这几个球中，红球分别为、、，白球分别为、，
则甲、乙两同学先后取出的两球可能的情况有：
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、共二十种，
其中取到不同颜色球的情况有：
、、、、、、、、、、、共十二种，
故其概率为.
故选：C.
【变式9-2】（23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试）袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中1个红球、2个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】列出所有可能情况种数及对应颜色为一白一黑的情况种数计算即可得.
【详解】设这五个球中红球为，白球分别为、，黑球分别为、，
则从袋中任取两球，有、、、、、、、、
、共十种可能，其中一白一黑有、、、共四种可能，
所以一白一黑的概率．
故选：D.
【变式9-3】（2024·陕西安康·模拟预测）甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意先分析分组情况，再将所有情况列出，根据古典概型的计算公式算出结果即可。
【详解】解：由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人，
两组分别安排在周六､周日值班共有6种情况：
（甲乙，丙）､（甲丙，乙）､（乙丙，甲）､（甲，乙丙）､（乙，甲丙）､（丙，甲乙），
显然甲､乙被安排在同一天有2种情况，
所以甲､乙被安排在同一天的概率为.
故选：C
【考点题型十】事件的关系与运算
1.事件的关系与运算
▲对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
2.事件间的关系的判断方法
判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．对于互斥、对立事件有2种方法：定义法、集合法.
【规律方法】
1.判断事件是否互斥的两步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
2．判断事件对立的两步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
3.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
4.判断互斥、对立事件的2种方法:
(1)定义法: 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
(2) 集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件eq \x\t(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
即：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．
【例10】（2023·全国·高一随堂练习）设某随机试验的样本空间，事件，，，求下列事件：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据事件并的定义求解；
（2）根据事件交的定义求解；
（3）根据事件的补（对立事件）和交的定义求解；
（4）根据事件的补（对立事件）和交的定义求解；
【详解】（1）由已知；
（2）由题意；
（3）由已知，，
所以
（4）由已知，，
所以．
【变式10-1】（2024高一下·全国·专题练习）对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确；
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确；
对于选项C，由题意知C正确；
对于选项D，由于＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件；
而为必然事件，所以，故D不正确．
故选：D.
【变式10-2】（2023·全国·高一随堂练习）都不是不可能事件，也都不是必然事件，如果A，B是互斥事件，那么（ ），并说明理由．
A．事件与必不互斥B．是必然事件
C．A与可能互斥D．是必然事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、必然事件的定义判断．
【详解】A，B是互斥事件，当对立时，事件与也对立，一定互斥，A错；
A，B是互斥事件，则是不可能事件，因此是必然事件，B正确；
A，B是互斥事件，则，A与不可能互斥，C错；
A，B是互斥事件，不一定是必然事件，如从中任取一个数，
事件是“取的数是1”，事件是“取的数是2”，互斥，但也可能不发生，不是必然事件，D错．
故选：B．
【变式10-3】（2024高一下·全国·专题练习）设某人向一个目标射击3次，用事件表示随机事件“第次射击击中目标”（），指出下列事件的含义：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)第1次和第2次射击都击中目标
(2)第1次和第2次射击都击中目标，而第3次没有击中目标
(3)第1次射击击中目标或第2次射击击中目标
【分析】直接根据事件的交，并，对立事件求解.
【详解】（1）表示第1次和第2次射击都击中目标．
（2）表示第1次和第2次射击都击中目标，而第3次没有击中目标．
（3）表示第1次射击击中目标或第2次射击击中目标
【考点题型十一】概率的基本性质
(1)概率的取值范围：.
(2)必然事件的概率：；不可能事件的概率：.
(3) 互斥事件的概率加法公式：
①(互斥)，且有．
② (彼此互斥)．
(4) 对立事件的概率：．
(5) 如果，那么
（6）设是一个随机试验中的两个事件，我们有
【例11】（2024高一下·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率；
(2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率．
【答案】(1)0.84
(2)0.93
【分析】（1）小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可.
（2）方法一：小明数学考试及格可以看作互斥事件“[60,69]”“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可.
方法二：小明数学考试及格可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件．结合对立事件概率公式求解即可.
【详解】（1）分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
则小明的成绩不低于70分的概率是.
（2）解法一：小明数学考试及格的概率是.
解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是.
【变式11-1】（22-23高一下·江西南昌·阶段练习）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】两两互斥，，
，，
.
故选：B.
【变式11-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用和求解即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，
所以，
所以.
故选：D
【变式11-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94．
(1)求p；
(2)甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率．
【答案】(1)
(2)0.4256．
【分析】（1）利用对立事件的概率公式列等式求；
（2）“两人共投中三分球3次”即“甲中2次且乙中1次”与“甲中1次且乙中2次”的和事件，利用互斥事件的概率加法公式可得.
【详解】（1），解得．
（2）设分别表示事件甲投篮两次投中三分球一次、两次，设分别表示事件乙投篮两次投中三分球一次、两次．
则，，
，．
设“甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次”，
则．
故甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次的概率为0.4256．
【考点题型十二】事件的相互独立性
(1)对任意两个事件，如果,则说事件相互独立，简称独立.
(2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．
【总结提升】
1.两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
3.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B；
(2)A，B都发生为事件AB；
(3)A，B都不发生为事件eq \x\t(A)eq \x\t(B)；
(4)A，B恰有一个发生为事件Aeq \x\t(B)＋eq \x\t(A)B．
(5)A，B中至多有一个发生为事件Aeq \x\t(B)＋eq \x\t(A)B＋eq \x\t(A)eq \x\t(B)．
3.事件A＋B；AB；eq \x\t(A)eq \x\t(B)之间的概率关系如表所示：
【例12】（23-24高一上·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响.
(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；
(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解；
（2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解.
【详解】（1）设“甲答对”，“乙答对”，
则，，，，
“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥
由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立，
则，
所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为.
（2）设“丙答对”，则，
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，
，解得，
所以的值为.
【变式12-1】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由互斥加法公式、独立事件的概率公式与古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】若经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第一次抽一个合格品、第二次抽一个次品、第三次抽一个次品，
或第一次抽一个次品、第二次抽一个合格品、第三次抽一个次品，
则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为.
故选：A.
【变式12-2】（2023上·上海·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）（1）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，求；
（2）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，用分别表示“取得的牌面数是10”和“取得的牌的花色是红桃”这两个事件.判断事件是否独立，说明理由.
【答案】（1）；（2）独立，理由见解析
【分析】（1）根据互斥事件以及对立事件的概率计算结合题设，即可求得答案；
（2）分别求出事件的概率，求出事件的概率，根据独立事件的乘法公式验证，即可判断出结论.
【详解】（1）由题意得，
又，，
故
（2）独立，理由如下：
由题意得，
事件即取得的牌是红桃10，故，
则，所以独立.
【变式12-3】（23-24高一上·陕西渭南·期末）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚.学生多角度､多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩.假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一､二､三､四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为.
(1)求的值；
(2)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率.（结果用分数表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式，列式求解，即得答案；
（2）考虑小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的情况有4种，根据互斥事件的概率公式结合独立事件的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知小红使用解法一､二､三､四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，
由小红使用四种解法全部答对的概率为，得，
；
（2）设小红小红使用解法一､二､三､四答对的事件为,
有三种解法答对的事件为E，则,
故
.
【考点题型十三】频率与概率
1.频率的稳定性
在相同的条件下重复次试验，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率与概率
频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．
【例13】（23-24高一下·全国·课后作业）为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示．
(1)根据直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
【答案】(1)答案见解析
(2)0.47
(3)2000
【分析】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可；
（2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和；
（3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表
（2），所以数据落在中的概率约为0.47.
（3）设水库中鱼的总条数约为条，则，
即，所以水库中鱼的总条数约为2000条.
【变式13-1】（2024·山西太原·模拟预测）由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据．
若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为（ ）
A．0.06B．0.08C．0.1D．0.12
【答案】A
【分析】根据古典概型的概率计算方法进行计算，再结合对立事件概率可求问题的答案.
【详解】由题意可知，该水果合格的概率为，
则随机抽出一个，估计其不能上市的概率为0.06．
故选：A
【变式13-2】（2024高一下·全国·专题练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．
(1)计算并完成表格；
(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？
【答案】(1)答案见解析；
(2)0.7；
(3)0.7.
【分析】（1）根据表格数据，按照频率公式直接计算可得；
（2）通过观察表中频率变化可得；
（3）根据频率与概率的关系可知.
【详解】（1）通过计算可得：
（2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
（3）由表格可知，随着转动转盘次数越来越大，频率越来越稳定在0.7附近，
所以，获得铅笔的概率约是0.7.
【变式13-3】（2024高一下·全国·专题练习）有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：
请根据以上表格中的数据回答下列问题：
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；
(2)根据（1）中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)0.9
【分析】（1）根据频率、频数和总数之间的关系完善表格；
（2）利用频率与概率之间的关系即可得出结论.
【详解】（1）
（2）由（1）知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，
所以估计两人一发成功的概率均为0.9.
【考点题型十四】随机模拟
利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的方法来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．
【例14】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）甲乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，制定表示甲获胜，用表示乙获胜，再以每三个随机数为一组，代表3局比赛的结果，经随机模拟产生了30组随机数：
据此估计，这两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
找出对应数组，再根据古典概型即可得解.
【详解】甲恰好获胜2局的数组为共组，
所以两位同学打3局比赛甲恰好获胜2局的概率为.
故选：B.
【变式14-1】（22-23高一下·福建福州·期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537共组，
所以所求概率.
故选：D
【变式14-2】（22-23高一下·安徽宣城·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
343 432 314 134 234 132 243 331 112 324
342 241 244 342 124 431 233 214 344 434
由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
找出恰好第三次结束时就停止的随机数的个数，利用古典概型公式求解概率．
【详解】随机模拟产生了20组随机数，其中恰好第三次结束时就停止的随机数有：314，134，234，243，324，共5个，
由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为．
故选：C．
【变式14-3】（2024高一下·全国·专题练习）天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为 .
【答案】/0.2
【分析】由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：.
【考点题型十五】利用概率求参数
通过计算相关概率，建立含参数的方程（组）.
【例15】（22-23高一下·福建厦门·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：
(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
(2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为
(2)的所有可能取值为．
【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；
（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解.
【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，
因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为．
游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，
则，因为，
所以，所以，所以游戏二获胜的概率为．
（2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，
则，且，，互斥，相互独立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，
所以，即．
进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
当时，，舍去
当时，，满足题意，
因此的所有可能取值为．
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.
【变式15-1】【多选题】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）某大学选拔生补充进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2023年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据独立事件同时发生的概率，三个社团他都能进入的概率为，根据对立事件的概率，至少进入一个社团的概率为，组成方程组，即可解得、的值.
【详解】依题意有，解得，.
故选：AC.
【变式15-2】（19-20高一下·全国·课后作业）连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于”为事件，则最大时， .
【答案】7
【解析】连续2次抛掷一次骰子，列出所有向上的数字之和的结果，分别统计m出现的各种可能取值的次数，即可得解.
【详解】连续2次抛掷一次骰子，向上的数字之和的结果如表所示.
可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的样本点个数依次为1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，因此“两次向上的数字之和等于7”的概率最大，此时.
【变式15-3】（23-24高二上·湖北恩施·期中）一个袋子中有4个红球,6个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取到绿球的概率；
(2)如果是个红球, 6个绿球, 已知取出的2个球都是绿球的概率为，那么是多少?
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根据互斥事件的概率、古典概型的概率求法求第二次取到绿球的概率；
（2）由题意有(D为两次取出的都是绿球事件)，结合和已知列方程求参数即可.
【详解】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有 种, 即，
设事件“两次取出的都是红球”, 则，
设事件“第一次取出红球, 第二次取出绿球”，则，
设事件“第一次取出绿球, 第二次取出红球”，则，
设事件“两次取出的都是绿球”，则，
且事件两两互斥.
第二次取到绿球的概率为.
（2）由题意，则，又，
或，，即.
【考点题型十六】概率与统计的综合问题
【例16】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.

求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
(3)第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
【答案】(1)0.12，17万元
(2)
(3)平均数，方差
【分析】（1）根据频率之和为1求得所求区间的频率，由题意求得的推销员不能完成月销售额目标得销售额即可求解；
（2）利用举所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解；
（3）将数据代入平均数公式和总体方差公式求解即可.
【详解】（1）月销售额在小组内的频率为，
若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标，
根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为，
和及三组的频率之和为，
故估计月销售目标应定为万元；
（2）第一组3人记为，第七组2人，
则选取2位推销员有
共10种情形，
“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，
则事件M包含有共6种情形，
所以；
（3）第一组3人，第七组2人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为，
方差.
【变式16-1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示：
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数；
(2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率.
【答案】(1)0.01；
(2)
【分析】（1）先由频率和为，计算得到参数的值，再由中位数两侧小矩形面积和各为，计算得到中位数即可；
（2）抽样比确定样本中数学成绩不低于130分的学生数和数学成绩不低于120分的学生数，设定事件和列举基本事件的样本空间，经统计数据后，利用古典概型概率的计算公式求值即可.
【详解】（1）由题意，
得：，
设今年该中学高考数学成绩的中位数为，
则，解得.
故该中学今年高考数学成绩的中位数约为.
（2）由题意可知分数在的频率为，
同理分数在的频率为，
所以分数在的抽取人数为：，记为，
分数在的抽取人数为：，记为，
从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为：
，
所以基本事件的总数为：.
设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”，
则，
事件包含的基本事件数为：.
由古典概型概率的计算公式得：.
故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为.
【变式16-2】（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
物理成绩统计表
(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；
(2)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率．
【答案】(1)117.8分；
(2).
【分析】（1）计算，再利用频率分布直方图估计平均数.
（2）计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【详解】（1）依题意，，
解得，
所以数学成绩的平均分：
.
（2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
【变式16-3】（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.
(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.
【答案】(1)0.3
(2)
(3)81或84
【分析】（1）由频率分布直方图中的频率，估计事件发生的概率；
（2）由两组学生的人数，列举样本空间和事件所包含的样本点，可求出2人来自同一组的概率；
（3）利用方差的定义求解.
【详解】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，
所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.
（2）样本中，组中有人，组中有人，
从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：
共包含15 个样本点,
记事件A：两人来自同一组，
则，共包含7个样本点，
所以这2人来自同一组的概率 .
（3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:.
方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，
对比两组数据，可知：或.
高一
高二
高三
A会场
50%
40%
10%
B会场
40%
50%
10%
高一
高二
高三
A会场
B会场
高一年级
高二年级
高三年级
女生
487
x
y
男生
513
560
z
分组
频数
3
5
8
频率
0.12
0.20
0.32
城市
年平均气温
城市
年平均气温
城市
年平均气温
城市
年平均气温
北京
13.8
上海
17.6
武汉
17.3
昆明
15.8
天津
13.8
南京
16.8
长沙
17.5
拉萨
9.5
石家庄
14.6
杭州
18.2
广州
21.9
西安（泾河）
15.8
太原
11.2
合肥
17.0
南宁
22.3
兰州（皋兰）
8.2
呼和浩特
7.1
福州
21.0
海口
24.6
西宁
6.6
沈阳
8.8
南昌
19.0
重庆（沙坪坝）
19.5
银川
10.7
长春
6.6
济南
15.4
成都（温江）
16.8
乌鲁木齐
8.4
哈尔滨
5.0
郑州
16.4
贵阳
15.3
温度
频数
频率
频率/组距
，
8
0.258
0.0516
5
0.161
0.0322
14
0.452
0.0904
4
0.129
0.0258
区间
人数
20
数据段
频数
频率
4
0.08
5
0.10
10
0.20
11
0.22
9
0.18
8
0.16
3
0.06
合计
50
1
分组
频数
频率
4
0.04
8
0.08
15
0.15
22
0.22
25
0.25
14
0.14
6
0.06
4
0.04
2
0.02
合计
100
1
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
11000
10000
9000
8000
6500
5500
4000
甲
8
9
10
9
7
9
9
10
9
10
乙
9
10
8
10
9
9
10
9
6
10
治理杨絮——您选哪一项？（单选）
a．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
b．调整树种结构，逐渐更换现有杨树
c．选育无絮杨品种，并推广种植
d．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
e．其他
所用时间天数
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
所用时间天数
10
11
12
13
通过公路1的频率
通过公路2的频率
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
若A发生，则B一定发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
▲
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
▲
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
A，B互斥
A，B相互独立
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))
P(AB)
0
P(A)P(B)
P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))
1－[P(A)＋P(B)]
P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))
分组
频率
0.05
0.20
0.28
0.30
0.15
0.02
车辆
甲
乙
丙
丁
抽检数量/个
35
60
50
55
合格数量/个
32
56
47
53
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球3个，白球2个
（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为获胜
第二次第一次
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
分组
频数
6
9
20
10
5