清单16 三角恒等变换（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

清单16 三角恒等变换

一、知识与方法清单

1.两角和与差的余弦公式

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))

【对点训练1】已知角α为锐角,若sin＝,则cos等于(　　)

A.     B.      C. D.

2.注意公式的逆用,如

【对点训练2】    

3. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝－,α＝＋,＝－等．

【对点训练3】设α,β都是锐角,且cosα＝,sin(α＋β)＝,则cosβ＝     .

4. 两角和与差的正弦公式

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))

【对点训练4】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝      .

5. 利用公式求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．

【对点训练5】设α为锐角,若cos＝,则sin的值为________．

6.解决非特殊角求值问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项,消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数,进行约分求值

7.已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.

(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.

(3)结合三角函数值及角的范围求角.

【对点训练7】设α,β为钝角,且sinα＝,cosβ＝－,则α＋β的值为(　　)

A.      B.       C. D.或

8.平方相加在给式求值中的应用

【对点训练8】若 则      

9.辅助角公式

辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ),其中cosφ＝,sinφ＝,或tanφ＝,φ角所在象限与点(a,b)所在象限相同,φ角的终边经过点(a,b)．

【对点训练9】（2021广东高三5月联考）（多选）已知函数,则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称

B．在上的值域为

C．若,则,

D．将的图象向右平移个单位长度得的图象

10. 两角和与差的正切公式

tan(α－β)＝(T(α－β))

tan(α＋β)＝(T(α＋β))

【对点训练10】（2021全国100所名校（高三冲刺卷）设为第二象限角,若,则__________．

11.注意公式成立的条件（每个式子都要有意义）

【对点训练11】是成立的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D.既不充分也不必要条件

12.注意两角和与差的正切公式变形的应用

,

【对点训练12】tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝     .

13.注意公式与根与系数关系的结合

【对点训练13】若是方程的两个根,则   

14. 在三角函数的化简、求值过程中,通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用,当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的一种提示,可以根据问题

的需要,将常用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.

【对点训练14】（2021广东省佛山市五校联盟高三5月模拟）（    ）

A．2 B．－2 C．1 D．－1

15. 二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan2α＝.

【对点训练15】（2021黑龙江省哈尔滨高三第四次模拟）已知,,则（    ）

A． B． C． D．

16.形如的求式子值

【对点训练16】    

17. 降幂公式与升幂公式

(1)降幂公式：cos2α＝,sin2α＝.

(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α,1－cos2α＝2sin2α.

【对点训练17】已知函数f(x)＝sin2x－sin2,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

18. 半角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin＝±.

(2)cos＝±.

(3)tan＝±＝＝.

【对点训练18】已知,   

19. 三角恒等变换的三个步骤

【对点训练19】已知cosα＝,cos(α＋β)＝－,且α,β∈,则cos(α－β)的值等于(　　)

A．－        B.        C．－       D.

20.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征．三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

【对点训练20】 化简：－sin10°.

21.含有偶次方根的三角函数式化简,脱去根式时要先加绝对值,再去绝对值

【对点训练21】化简： (0<θ<π)；

22.证明三角恒等式的原则与步骤

(1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.

(2)证明恒等式的一般步骤：

①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.

【对点训练22】求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.

23.的值你会求吗？

【对点训练23】   

二、跟踪检测

一、单选题

1．（2021西南名校联盟“3 3 3”高三5月诊断）（    ）

A． B． C． D．

2．（2021安徽省皖江名校高三5月最后一卷）已知,为锐角,,,则（    ）

A． B． C． D．

3．（2021江西省临川高三押题预测卷）若,则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021届高三5月卫冕联考）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积,即.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的倍和倍（所成角记、）,则（    ）

A． B． C． D．

5．（2021湖北省高三5月联考）在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为O,始边为x轴的非负半轴,若点是角终边上的一点,则等于（    ）

A． B． C． D．

6．已知,,则（    ）

A． B． C． D．

7．（2021福建省高三高考考前适应性练习）已知,且,则（    ）．

A． B． C． D．

8．已知函数,则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称

B．在上的值域为

C．若,则,

D．将的图象向右平移个单位得的图象

9．（2022河南省九师联盟高三6月摸底）若,且,则（    ）

A．-7 B． C． D．-7或

10．（2021吉林省松原市高三5月联考）已知当时,函数取得最小值,则（    ）

A． B． C． D．

11．在中,的最大值为

A． B． C． D．

二、多选题

12．已知,则（    ）

A． B． C． D．

13．函数的图象的一个对称中心为（    ）

A． B． C． D．

14．（2021福建省建瓯市芝华中学高三上学期）下列各式中,值为的是（    ）

A． B．

C． D．

15．已知函数,则下列关于判断正确的是（    ）

A．是以为周期的周期函数

B．的图象关于原点对称

C．的值域为

D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得

16．（2021重庆市高三下学期模拟）已知､,,则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

17．（2021黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三第四次模拟）函数的最小值为_______________________．

18．（2021山东省临沂市高三二轮模拟）已知,则__________________．

19．（2021陕西省西安中学高三下学期模拟）在中,角,,的对边分别为,,．已知,则的最小值为_______．

20．（2021浙江省高三高考考前模拟）已知=,且,则__________；__________．

四、解答题

21．（2021天津高考数学试题）在,角所对的边分别为,已知,．

（1）求a的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

22．（2021广东省佛山市高三高考模拟）在中,线段是的角平分线,且

（1）求.

（2）若求的值.