专题01 平面向量（考点清单，21题型解读）（原卷+解析）

这是一份专题01 平面向量（考点清单，21题型解读）（原卷+解析），文件包含专题01平面向量考点清单21题型解读原卷版docx、专题01平面向量考点清单21题型解读解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。


【考点题型一】向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．
【例1】（22-23高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．
【变式1-1】（22-23高一下·海南·期中）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量B．距离C．力D．体重
【变式1-2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（ ）
A．①⑥B．⑦⑧⑨C．①⑧⑨D．①⑥⑦⑧⑨
【变式1-3】（2023高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（ ）
A．频率B．拉力C．体积D．距离
【考点题型二】向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的字母表示法：如等.
3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
(1)终点A在起点O正东方向3m处；
(2)终点B在起点O正西方向3m处；
(3)终点C在起点O东北方向4m处；
(4)终点D在起点O西南方向2m处．
【变式2-1】（23-24高一下·江西九江·阶段练习）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．

【变式2-2】（2024高一下·全国·专题练习）小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移．
【变式2-3】（22-23高一·全国·随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．
【考点题型三】向量的相关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【例3】（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．B．、是单位向量，则
C．两个相同的向量的模相等D．单位向量均相等
【变式3-1】（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量与的长度相等
【变式3-2】（23-24高一下·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
【变式3-3】【多选题】（23-24高一下·甘肃·期中）如图，在单位圆中，向量是（ ）

A．有相同起点的向量B．单位向量
C．模相等的向量D．相等的向量
【考点题型四】向量的共线或平行
1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。
规定：与任一向量共线.
【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【例4】（23-24高一下·江西南昌·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则与共线B．若与是平行向量，则
C．若，则D．共线向量方向必相同
【变式4-1】（16-17高二·河北衡水·周测）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与不是共线向量
【变式4-2】【多选题】（23-24高一下·河南郑州·期中）下列结论不正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则B．直角坐标平面上的轴，轴都是向量
C．若与是平行向量，则D．海拔、温度、角度都不是向量
【变式4-3（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为的向量D．方向相反的两个非零向量必不相等
【考点题型五】向量的加法运算
1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，
向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC
3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和
4、向量加法的运算律
结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
【例5】（23-24高一下·广东佛山·期中）在矩形ABCD中，，，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式5-1】（23-24高一下·北京·期中）在平行四边形ABCD中，（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（23-24高一下·重庆涪陵·阶段练习）如图，在平行四边形中，（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（17-18高一上·北京西城·期末）如图，在矩形中，（ ）
A．B．C．D．
【考点题型六】向量的减法运算
1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
（1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
（2）－(－a)＝a；
（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
（4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．
2、向量的减法
（1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（2）几何意义：以O为起点，作向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(BA,\s\up7(―→)) ＝a－b，
如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
【例6】（23-24高一下·河北邢台·期中）下列结论正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量B．单位向量都相等
C．两个单位向量之和不可能是单位向量D．
【变式6-1】（23-24高一下·天津河西·期中）化简：（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（23-24高一下·河北·期中）向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ）

A．B．C．D．
【变式6-3】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）下列结论恒为零向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型七】向量的数乘运算
1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，
它的长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
（3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
2、向量数乘的几何意义
当时，把向量沿的相同方向放大或缩小；
当时，把向量沿的相反方向放大或缩小。
3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.
4、向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
【例7】（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【变式7-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）如图所示，某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（23-24高一下·河南新乡·期中）在中，边上的中线为，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【考点题型八】向量共线定理
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
【注意】
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
【例8】（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
【变式8-1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知向量不共线，，且与方向相反，则实数的值是（ ）
A．B．1C．或D．1或
【变式8-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.
【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）设是不共线的两个向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数的值．
【考点题型九】向量数量积的定义
1、定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；
2、记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；
3、向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）cs θ＝；
（5）
4、向量数量积满足的运算律
（1）； （3）(λ为实数)； （3）；
5、平面向量数量积运算的常用公式

【例9】（23-24高一下·辽宁大连·期中）四边形ABCD为平行四边形，，点M，N满足，.
(1)若，求的值；
(2)若，且，点P是边AD上的动点，求的取值范围.
【变式9-1】（23-24高一下·辽宁本溪·期中）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（ ）

A．0B．4C．5D．6
【变式9-2】（2023·高一单元测试）在中，分别为的中点，则__________.
【变式9-3】（23-24高一下·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上．
(1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值；
(2)求的取值范围．
【考点题型十】投影向量
（1）设，是两个非零向量，，，
考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．
（3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。
【例10】（2023·全国·高一专题练习）已知，求在上的投影向量．
【变式10-1】（23-24高一下·福建福州·阶段练习）设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量满足，，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】（23-24高一下·天津南开·期中）等边三角形的边长为2，则在上的投影向量为 .
【考点题型十一】向量的模长
利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
【例11】（23-24高一下·福建福州·期中）平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为 ．
【变式11-1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为 ．
【变式11-2】（2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，，则______．
【变式11-3】（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得，则实数m的取值范围为___________.
【考点题型十二】向量的夹角
1、定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．
2、两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；
两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．
【例12】（23-24高一下·河南·期中）已知为单位向量.
(1)若，求的夹角；
(2)若，求的值.
【变式12-1】（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式12-2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，，且，则 ．
【变式12-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为 .
【考点题型十三】平面向量的垂直问题
两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数，高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数。
（1）如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数；
（2）如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数。
【例13】（23-24高一下·北京房山·期中）已知向量满足，且与的夹角为．
(1)求；
(2)求；
(3)若，求实数的值.
【变式13-1】（23-24高一下·四川·期中）设非零向量，满足，则（ ）
A．B． C． D．
【变式13-2】（23-24高一下·北京房山·期中）若向量满足，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式13-3】（23-24高一下·云南·期中）已知向量，．
(1)若与共线，求的值；
(2)若与垂直，求的值．
【考点题型十四】平面向量基本定理
1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
【例14】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，.
(1)以为基底表示；
(2)求证：三点共线.
【变式14-1】（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【变式14-2】【多选题】（2023·江苏·高一专题练习）设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（ ）
A．2B．3C．1D．0
【变式14-3】（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（ ）
A．B．C．D．
【考点题型十五】平面向量基本定理的应用
1、唯一性的应用：设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则
2、重要结论：设是平面内一个基底，若，
= 1 \* GB3 ①当时，与共线； = 2 \* GB3 ②当时，与共线； = 3 \* GB3 ③当时，；
【例15】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，.
(1)分别用来表示和
(2)求的最小值
【变式15-1】（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知向量不共线，，且，则实数（ ）
A．1或4B．1或C．或1D．或1
【变式15-2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（ ）

A．5B．9C．D．
【变式15-3】（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.
(1)若，求和的值；
(2)若，求的最小值.
【考点题型十六】向量的坐标表示
1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2、向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设、，则
【例16】（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．或
【变式16-1】（23-24高一下·湖南·期中）已知点，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．D．或
【变式16-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，若，则的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【变式16-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．不确定
【考点题型十七】向量线性运算的坐标表示
1、向量加减法的坐标运算：已知，则，．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2、向量数乘的坐标运算：若，则；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
【例17】（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知，.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且三点共线，求的值.
【变式17-1】（23-24高一下·四川·期中）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式17-2】（23-24高一下·广东潮州·期中）已知若则x= .
【变式17-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.
【考点题型十八】向量数量积的坐标表示
1、数量积坐标表示：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a∙b=x1y1+x2y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
2、向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则a⊥b⟺x1y1+x2y2=0
3、用坐标表示模长、距离、夹角
（1）向量的模公式：若a=(x1,y1)，则a=x12+y12
（2）两点间的距离公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2
（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，
则csθ=a∙bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
【例18】（2020·北京·统考高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【变式18-1】（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知向量，，，且，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式18-2】【多选题】（23-24高一下·安徽合肥·期中）已知平面向量，，则（ ）
A．B．与可作为一组基底向量
C．与夹角的余弦值为D．在方向上的投影向量的坐标为
【变式18-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
【考点题型十九】线段的定比分点与λ
设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：

(内分) (外分)() (外分) ()
（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，
则点坐标为，我们称为点分所成的比.
（2）点的位置与的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；
②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.
【例19】（22-23高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（ ）
A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比
B．可以用表示直线上的任意一点
C．当且时，为外分点
D．当时，点与点重合
【变式19-1】（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
【变式19-2】（22-23高一下·贵州·阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【变式19-3】（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 .
【考点题型二十】向量在几何中的应用
1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
2、利用向量证明平面几何的两种经典方法
（1）线性运算法
第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；
第二步：利用基底表示相关向量；
第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。
（2）坐标运算法
第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；
第二步：把相关向量坐标化；
第三步：用向量的坐标运算找到相应关系；
第四步：利用向量关系回答几何问题。
【例20】（2023·高一课时练习）已知，，，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形．若是，请指出哪个角是直角．
【变式20-1】（2023·江苏·高一专题练习）在四边形中，，若，且，则（ ）
A．B．3C．D．2
【变式20-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．内心
【变式20-3】（2006·陕西·高考真题）已知非零向量和满足，且，则为( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形
【考点题型二十一】向量在物理中的应用
向量在物理应用中的主要解题思路
（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；
（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；
（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。
【例21】（2023·江苏·高一专题练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．
【变式21-1】（23-24高一下·河南周口·开学考试）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，．与的夹角为，则的大小为 .
【变式21-2】（2024高一下·全国·专题练习）一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J．
【变式21-3】（2024高一下·全国·专题练习）一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 J.