高考数学二轮专题学与练 01 集合与简单逻辑（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 01 集合与简单逻辑（考点解读）（含解析），共13页。试卷主要包含了集合的概念、运算和性质，四种命题，充要条件，全称量词与存在量词等内容，欢迎下载使用。

专题1 集合与简单逻辑

集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大.

1．集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法．
(2)集合的运算：
①交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
②并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
③补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
(3)集合的关系：子集，真子集，集合相等．
(4)需要特别注意的运算性质和结论．
①A∪∅＝A，A∩∅＝∅；
②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A
2．四种命题
(1)用p、q表示一个命题的条件和结论，¬p和¬q分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p则q；则逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p.
(2)四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．
3．充要条件
(1)若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件．
(2)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若p⇔q，则p是q的充分必要条件．
4．简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”；
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”；
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“¬p”．
5．全称量词与存在量词
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．
它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．
(2)特称命题(存在性命题)p：∃x0∈M，p(x0)．
它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).

高频考点一　集合的概念及运算
例1、(1)[2019·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　)
A．{－1，0，1} B．{0，1}
C．{－1，1} D．{0，1，2}
(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知集合M＝{x|－4 A．{x|－4 C．{x|－2 【解析】(1)本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．
(2)本题主要考查集合的交运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．
∵N＝{x|－2 ∴M∩N＝{x|－2 【答案】(1)A　(2)C
【方法技巧】解答集合问题的策略
先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的策略为：
(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．
(2)若给定的集合是点集，用图象法求解．
(3)若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．
【举一反三】(2018年浙江卷)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
【变式探究】(1)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)
A．{－1，0}　 B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{0，1，2}
解析：基本法：化简集合B，利用交集的定义求解．
由题意知B＝{x|－2 速解法：验证排除法：
∵－1∈B，故排除B、D.
∵1∉B，∴1∉A∩B，排除C.
答案：A
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．
当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．故选C.
速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．
∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.
B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．
即3×3更不可能．故选C.
速解法二：当x＝y时，x－y＝0；
当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.
故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.
答案：C
高频考点二　充分、必要条件
例2、(1)[2019·天津卷]设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)[2019·浙江卷]设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】(1)由x2－5x<0可得0 (2)因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
【答案】　(1)B　(2)A
【举一反三】(2018年天津卷)设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】绝对值不等式 ，
由 .
据此可知是的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
【变式探究】【2017天津，理4】设，则“”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.
高频考点三　命题的真假与逻辑联结词
例3、(1)[2018·北京卷]能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________；
(2)[2019·福建漳州一中模拟]已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数f(x)＝的最小值为.则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(┐p)∧q
C．┐(p∨q) D．p∧(┐q)
【解析】　(1)设f(x)＝sin x，则f(x)在0，上是增函数，在，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0，2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，但f(x)在[0，2]上不一直都是增函数．
(2)p中椭圆＋＝1的焦点坐标分别为(0，4)，(0，－4)，双曲线－＝1的焦点坐标分别为(4，0)，(－4，0)，故p为假命题；q中f(x)＝＝＝＋，设t＝≥2(当且仅当x＝0时，
等号成立)，则f(t)＝t＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝，故q为真命题．所以(┐p)∧q为真命题，故选B.
【答案】　(1)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一)　(2)B
【举一反三】(1)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则┐p为(　　)
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：基本法：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，┐p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.
答案：C
(2)已知命题p：∀x∈R，2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(┐p)∧q
C．p∧(┐q) D．(┐p)∧(┐q)
解析：基本法：当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，∴p：∀x∈R，2x<3x是假命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，

∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．
∴p∧q为假命题，排除A.
∵┐p为真命题，∴(┐p)∧q是真命题．选B.
速解法：当x＝0时，不满足2x＜3x，∴p为假，排除A、C.利用图象可知，q为真，排除D，必选B.
答案：B
【变式探究】已知命题p：∃x∈R，2x＞3x；命题q：∀x∈，tan x＞sin x，则下列是真命题的是(　　)
A．(┐p)∧q B．(┐p)∨(┐q)
C．p∧(┐q) D．p∨(┐q)
解析：基本法：先判断命题p、q的真假，然后根据选项得出正确结论．
当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；当x∈时，tan x－sin x＝＞0，所以q为真命题，所以p∨(┐q)是真命题，其他选项都不正确，故选D.
速解法：p为真时，p或任何命题为真，故选D.
答案：D

1．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知集合，则=( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
则，故选C．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=( )
A．(–∞，1) B．(–2，1)
C．(–3，–1) D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意得，或，，则，故选A．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷】已知集合，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∴，∴，
又，∴，故选A．
4．【2019年高考天津】设集合，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故选D.
5．【2019年高考浙江】已知全集，集合，，则=( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，故选A。
6．【2019年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选A。
7．【2019年高考天津】设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得，由可得，
易知由推不出，
由能推出，
故是的必要而不充分条件，
即“”是“”的必要而不充分条件，故选B。
8．【2019年高考全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件，故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行，故选B。
1. (2018年浙江卷)已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则( )
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C。
2. (2018年天津卷)设全集为R，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.
本题选择B。
3. (2018年北京卷)设集合则( )
A. 对任意实数a， B. 对任意实数a，(2，1)
C. 当且仅当a<0时，(2，1) D. 当且仅当时，(2，1)
【答案】D
【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D。
4. (2018年北京卷)已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=( )
A. {0，1} B. {–1，0，1}
C. {–2，0，1，2} D. {–1，0，1，2}
【答案】A
【解析】，因此AB=，故选A。
5. (2018年全国I卷)已知集合，则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B。
6 .(2018年全国Ⅱ卷)已知集合，则中元素的个数为( )
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】，
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，故选A。
7.(2018年全国Ⅲ卷)已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得，所以，故选C。
8.(2018年浙江卷)已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A。
9. (2018年天津卷)设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】绝对值不等式 ，
由 .
据此可知是的充分而不必要条件，故选A。
10. (2018年北京卷)设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，因为a，b均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件，故选C。
11. (2018年江苏卷)已知集合，，那么________．
【答案】{1，8}
【解析】由题设和交集的定义可知：.
12. (2018年北京卷)设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M()=．
(Ⅰ)当n=3时，若，，求M()和M()的值；
(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M()是奇数；当不同时，M()是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M()=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
【答案】(1) M(α，β)=1
(2) 最大值为4
(3)答案见解析
【解析】
(Ⅰ)因为α=(1，1，0)，β=(0，1，1)，所以
M(α，α)= [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2，
M(α，β)= [(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．
(Ⅱ)设α=(x1，x 2，x3，x4)∈B，则M(α，α)= x1+x2+x3+x4．
由题意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)为奇数，
所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3．
所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组：
(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1).
经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β)=1.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素．
所以集合B中元素的个数不超过4.
又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，
所以集合B中元素个数的最大值为4.
(Ⅲ)设Sk=( x1，x 2，…，xn)|( x1，x 2，…，xn)∈A，xk =1，x1=x2=…=xk–1=0)(k=1，2，…，n)，
Sn+1={( x1，x 2，…，xn)| x1=x2=…=xn=0}，
则A=S1∪S1∪…∪Sn+1．
对于Sk(k=1，2，…，n–1)中的不同元素α，β，经验证，M(α，β)≥1.
所以Sk(k=1，2 ，…，n–1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素．
所以B中元素的个数不超过n+1.
取ek=( x1，x 2，…，xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1，2，…，n–1).
令B=(e1，e2，…，en–1)∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．
1.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，由可得，则，即，所以
，，故选A。
2.【2017课标II，理】设集合，。若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，即是方程的根，所以， ，故选C。
3．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，圆 与直线 相交于两点 ， ，则中有两个元素，故选B。
4.【2017北京，理1】若集合A={x|–23}，则AB=( )
(A){x|–2 (C){x|–1 【答案】A
【解析】利用数轴可知，故选A。
5.【2017天津】设集合，则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】 ，故选B。
6.【2017天津，】设，则“”是“”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，故选A。