高一数学下册考试真题强化训练 期末专题01 平面向量综合原卷版+解析

这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题01 平面向量综合原卷版+解析，共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知向量，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．4B．8C．D．
4．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，已知是边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）在中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．0
9．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）在中，，，点满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．D．5
14．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．3B．C．D．1
15．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（ ）
A．B．
C．5D．7
二、多选题
16．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022春·江苏常州·高一统考期末）设向量，满足，且，则下列结论正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
18．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）设向量，满足，则（ ）
A．与的夹角为60°B．
C．D．
19．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．零向量没有方向
B．共线向量是同一条直线上的向量
C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得
D．
20．（2022春·江苏南通·高一统考期末）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
21．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）如图，已知菱形的边长为6，为中点，，下列选项正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．
22．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
24．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若．且，则
C．已知，则在上的投影向量是
D．三个不共线的向量满足，则O是的外心
25．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
三、填空题
27．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.
28．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
29．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知向量，若与平行，则实数______．
30．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
31．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，正八边形中，若，则的值为________．
32．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
四、解答题
33．（2022春·江苏扬州·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量．
(1)求；
(2)若，，求实数的值．
34．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知向量．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
35．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，为平面向量，且.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且向量与平行，求实数k的值.
36．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知向量，满足，，．求：
(1)；
(2)与的夹角．
37．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）已知平面向量，，满足，.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若，函数，求的值.
38．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，．
(1)当，求
(2)求的最小值，并求此时向量，的夹角大小．
39．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，函数，求的值域.
40．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，.
(1)求；
(2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
期末专题01 平面向量综合
一、单选题
1．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知向量，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】因为向量，，且，则，解得.
故选：B.
2．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：A.
3．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】C
【分析】根据投影向量与投影之间的关系可知在方向上的投影为，进而根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，
故选：C
4．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，已知是边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的减法运算即可得到答案．
【详解】解：，
则有，
可得．
故选：C.
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对两边平方求得，进而利用且列出方程，求出，结合，求出答案.
【详解】，两边平方得：，
即，所以，
由，
而，
所以，所以，
因为，所以
故选：D
6．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）在中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理结合已知条件，将用表示出来，从而可求出的值
【详解】因为，所以为上靠近点的三等份点，
所以
,
因为，
所以，
所以，
故选：A
7．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论．
【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，
又，所以是等边三角形，，
设，
则，作于，则，所以，
即为向量在向量上的投影向量，．
故选：A．
8．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】C
【分析】根据向量共线的坐标表示计算．
【详解】由已知，，
又与共线，所以，解得．
故选：C．
9．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得向量的数量积与其模的关系，再利用向量模长公式及夹角公式即得．
【详解】由于，
所以，即，
∴，又，
∴，
，
∴，由于，
∴.
故选：A.
10．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）在中，，，点满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用二次函数最小值的求法可求得结果.
【详解】，
，
则当时，，.
故选：A.
11．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用向量夹角公式及数量积的运算律求即可.
【详解】由题设，，
又，且，同理，，
所以.
故选：A
12．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，
则，，，
由可得，解得，
所以，
故选：A
13．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．D．5
【答案】C
【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值.
【详解】

三点共线
即
故的最小值为.
故选：C.
14．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．3B．C．D．1
【答案】C
【分析】利用数量积的定义直接求得.
【详解】因为，所以.
因为，为夹角为60°的两个单位向量，
所以
故选：C
15．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（ ）
A．B．
C．5D．7
【答案】D
【分析】由题图，利用向量数乘、加法的几何意义，结合向量数量积的运算律求目标式的值.
【详解】由题图知：，，，
所以，
由，，故.
故选：D
二、多选题
16．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解.
【详解】解：因为是两个单位向量，
所以，但两向量的方向不能确定，
，
故AB错误；CD正确.
故选：CD.
17．（2022春·江苏常州·高一统考期末）设向量，满足，且，则下列结论正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据平面向量数量积的运算性质可求得，从而求出的值，进而可求出向量，的夹角余弦值，再由数量积的运算性质判断各选项式子的正误.
【详解】解：，；
；
；
；
又；．故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D正确.
故选：CD．
18．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）设向量，满足，则（ ）
A．与的夹角为60°B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】对AD，将两边平方可得判断即可；
对B，根据两边平方求解即可；
对C，根据和计算即可
【详解】对AD，因为，故，即，故，故与的夹角为，故A错误，D正确；
对B，因为，故，因为故，故B正确；
对C，，故C正确；
故选：BCD
19．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．零向量没有方向
B．共线向量是同一条直线上的向量
C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得
D．
【答案】ABC
【分析】根据零向量和共线向量的定义即可判断A,B，由共线定理可判断C，根据向量数量积的性质即可判断D.
【详解】对A,零向量的方向规定为任意方向，故错误，
对B,共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误，
对C,根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误，
对D，，故正确，
故选：ABC
20．（2022春·江苏南通·高一统考期末）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
【答案】BC
【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.
【详解】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
21．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）如图，已知菱形的边长为6，为中点，，下列选项正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．
【答案】ABD
【分析】对A，根据平面向量的线性运算求解即可；
对B，根据平面向量基本定理可得
对C，以为基底计算判断即可；
对D，以为基底计算，并根据判断即可
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，因为菱形，故，故，故，故D正确；
故选：ABD
22．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，可得四边形为平行四边形，再结合向量线性运算逐项分析计算作答.
【详解】对于A，四边形为梯形，，，为中点，即有，
则四边形为平行四边形，，A正确；
对于B，为中点，，B正确；
对于C，为的中点，，C不正确；
对于D，由选项A知，，，D不正确.
故选：AB
23．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】AB
【分析】根据反向坐标的定义把用表示后，根据向量的减法判断A，把模平方转化为数量积的运算判断B，计算判断C，由投影向量的定义求解判断D．
【详解】由题意，
，A正确；
，，B正确；
，C错误；
，，
在上的投影向量为，D错；
故选：AB．
24．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则
B．若．且，则
C．已知，则在上的投影向量是
D．三个不共线的向量满足，则O是的外心
【答案】ABD
【分析】对A，举反例判断即可；
对B，根据数量积的运算分析即可；
对C，根据条件可得，进而根据投影向量的公式求解即可；
对D，根据，结合数量积的公式可得，再同理判断即可
【详解】对A，若，则，但不一定成立，故A错误；
对B，若．且，则，即，并不能推出，故B错误；
对C，因为，故，所以在上的投影向量是，故C正确；
对D，，则，故，故，所以，即在的角平分线上，同理在的角平分线上，故为的内心，故D错误；
故选：ABD
25．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据各边长的关系直接可判断A；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B；利用投影表示数量积可判断C；作，求出FI、BI长，然后由向量加法可判断D.
【详解】记，则
所以，即，故A正确；
由正方形性质可知，，显然不平行，所以不垂直，B错误；
因为，，所以，故C正确；
过F作，垂足为I，，即
所以，所以
则，
所以，故D正确.
故选：ACD
26．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A．的取值范围是
B．点经过的外心
C．点所在轨迹的长度为2
D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.
【详解】由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.
三、填空题
27．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【分析】利用投影向量公式进行计算.
【详解】由题意得：在上的投影向量的坐标为
故答案为：
28．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．
【答案】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用向量的几何意义求出，求出.
【详解】平行四边形中，，
因为，所以，
根据向量的几何意义可知，
解得：.
故答案为：
29．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知向量，若与平行，则实数______．
【答案】1
【分析】根据与平行，利用共线向量定理求解.
【详解】解：因为向量，
所以，
又因为与平行，
所以，
解得，
故答案为：1
30．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】构建直角坐标系，设且，应用向量的坐标运算求坐标，应用坐标公式求模即可.
【详解】不妨假设在上且，如下图示，
所以，在且，设，
则，，，
所以，
故，
当时，的最小值为.
故答案为：
31．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，正八边形中，若，则的值为________．
【答案】
【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据
的坐标运算可得答案.
【详解】
如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，
，所以，
，所以，
即轴，为等腰直角三角形，
设，则，，
所以，所以，，与关于轴对称，
所以，
，，，
由得，
即，解得，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．
32．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后表示出，由可得，代入中求其模，利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，，分别在线段、上，
设（），
则，
所以，
所以，
，
所以
，
设，则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
四、解答题
33．（2022春·江苏扬州·高一期末）在平面直角坐标系中，已知向量．
(1)求；
(2)若，，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐标运算法则计算得到，从而计算出模长；（2）利用向量坐标运算和数量积等于0求出实数的值.
【详解】（1），
所以
（2），
因为，
所以，
解得：
34．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知向量．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；
（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；
【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（Ⅱ）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
35．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，为平面向量，且.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且向量与平行，求实数k的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标；
（2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值.
【详解】（1）设，因为，所以①
又因为，所，即②
由①②联立得，解之得或，
则所求向量的坐标为或
（2）因为，，
所以，，
又因为向量与平行，所以，
解之得
36．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知向量，满足，，．求：
(1)；
(2)与的夹角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量模的坐标运算以及向量的基本运算可以直接求得；
（2）根据向量数量积的定义进行计算即可得到结果.
(1)
由，得，
故，代入，，得，
由，得
(2)
由
故与的夹角为.
37．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）已知平面向量，，满足，.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若，函数，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设向量与的夹角为，根据向量的数量积的运算公式，化简得到，即可求解：
（2）根据题意，化简得到，进而求得的值.
(1)
解：设向量与的夹角为，
因为且，，
可得，解得，
又因为，所以.
(2)
解：由题意知，
则
，
所以.
38．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，．
(1)当，求
(2)求的最小值，并求此时向量，的夹角大小．
【答案】(1)
(2)最小值为，此时，夹角大小为
【分析】（1）根据模长公式即可求解，
（2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值.
【详解】（1）因
因为，
所以．
（2）解法设，，
因为，
所以，
由，
当且仅当即时取等
所以最小值为，此时，夹角大小为．
解法设，
由，
所以
故当，时最小值为，
此时．
39．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，函数，求的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】根据向量共线定理的坐标形式建立方程即可求得结果；
利用换元法转化成一元二次函数，即可求得结果.
（1）
解：向量，，，
即，
，
.
（2）
，，
，
设，
则，
，，
设，，
由二次函数性质可得：
，
.
故的值域为.
40．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，.
(1)求；
(2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】(1)根据复数的模的性质结合数量积公式求解即可；(2)根据向量垂直的性质列方程求的值.
(1)
，
.
(2)
，，
若是以为斜边的直角三角形，则，
，
化简得：，解得.
存在满足条件.