高考复习 专题01 集合+复数+平面向量（原卷版+解析版）

这是一份高考复习 专题01 集合+复数+平面向量（原卷版+解析版），文件包含专题01集合+复数+平面向量原卷版docx、专题01集合+复数+平面向量解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
5．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】
根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
6．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
7．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
8．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
9．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
10．（2022·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
11．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
12．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
13．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
14．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
15．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
二、多选题
16．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
三、填空题
17．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
18．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·广东·一模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合的元素特性，可得集合间的关系.
【详解】由集合，，得.
故选：D
2．（2024·辽宁大连·一模）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由补集和交集的定义运算.
【详解】集合，集合，
则，有.
故选：C
3．（2024·河北邯郸·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.
【详解】由得，即，
,所以.
故选：B
4．（2024·浙江杭州·二模）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
又，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：B.
5．（2024·浙江台州·二模）在复平面内，复数（为虚数单位），则（ ）
A．的实部为2B．
C．D．对应的点位于第一象限
【答案】B
【分析】根据除法化简复数，根据实部、模、共轭复数、复数对应点逐项判断即可.
【详解】，
故实部为1，，，对应的点位于第四象限
故选：B
6．（2024·河北邯郸·二模）已知复数满足，则（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】D
【分析】设，根据条件得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果.
【详解】令，则，所以，解得，
所以，故，
故选：D.
7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【详解】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D
8．（2024·广东佛山·二模）已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若，则，即，
与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设与的夹角为，则，，
所以，故选项B 说法错误；
选项C：若，则，
所以，，即，
所以，
又，所以，故选项C说法错误；
选项D：因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故选项D说法正确；
故选：D
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数满足，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】设出对应复数，利用复数的运算性质整体代值运算即可.
【详解】设，，且，
由已知得，，得，
又，
故，，
同时平方得，，
相加并化简得，
而，
.
故选：D
二、多选题
10．（2024·辽宁沈阳·二模）设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】求解可得，再逐个选项判断即可.
【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知，
则（与顺序无关），故A正确；
对B，因为，所以，故B正确；
对C，由A，，故C错误；
对D，由韦达定理可得，故D正确．
故选：ABD
11．（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
12．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最大值为5
C．的最小值为2
D．的最大值为
【答案】BD
【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值.
【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足，
此时有最小值，A选项错误；
当向量方向相同时，满足，
此时有最大值，B选项正确；
，有，即，则，
向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误；
向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确.
故选：BD
13．（2024·广东梅州·二模）设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的模长的运算性质即可求解ACD，举反例即可判断B.
【详解】对于A，，则，解得，即，故A正确；
对于B，，，满足，但，故B错误；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，则，即，即，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
14．（2024·湖南·二模）已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】解二次不等式化简集合，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.
【详解】因为，
，
又集合恰有两个元素，
所以恰有两个元素1和2，所以.
故答案为：.
15．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据锐角三角函数可得，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.
【详解】设，则，
故，
故
，
当时，，即时，
此时取最小值.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于的表达式，从而得解，
一、单选题
1．（2024·四川·模拟预测）设，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用分母实数化对进行化简，从而得到答案.
【详解】由题意可得，所以．
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】因为，
，
所以．
故选：D．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）记是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】利用复数的除法法则得到，进而得到，求出模长.
【详解】，
故，故.
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）复数满足（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘除法运算法则计算即可.
【详解】由，得，
所以.
故选:D.
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）复数的共轭复数的模是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念与求模公式计算即可.
【详解】由，所以.
故选：B
6．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义，即可求解.
【详解】由题意知.由，得.
故选：D.
7．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合，根据集合交集运算可得结果.
【详解】因为，
所以．
故选：A．
8．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化为函数，求出取值范围即可.
【详解】
如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系，
易知，，，
设，且，故，，
故，而，.
故选：C
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量与满足在上的投影向量为在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题在上的投影向量为在上的投影向量为可得：，联立即可求解.
【详解】方法一 ： 设，且，
则在上的投影向量为，
即，，
由在上的投影向量为，则，
所以，，解得（负值已舍去），
，
方法二： 设，如图
在上的投影向量为，
点在上的投影为的中点，
在上的投影向量为，
点在上的投影为点，即，
为等腰直角三角形，
.
故选：B.
二、多选题
11．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的共轭复数为
C．若，则
D．使成立的，
【答案】BD
【分析】根据复数代数形式的减法运算求出，即可求出其模，从而判断A，根据复数代数形式的除法运算化简，从而得到其共轭复数，即可判断B，由，根据复数代数形式的除法运算化简即可判断C，首先、，再根据复数相等的充要条件得到方程，即可判断D.
【详解】对于A，因为，，所以，
所以，故A不正确；
对于B，，其共轭复数为，故B正确；
对于C，若，则
，故C不正确；
对于D，因为，，
若，
则，解得，故D正确．
故选：BD．
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最大值为5D．若，则
【答案】AD
【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出的关系，进而可判断D.
【详解】因为，，
所以，，
对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，
又，解得或，故B错误；
对于C，
，其中，
当时，取得最大值，故C错误；
对于D，若，则，
即，所以，
所以
，故D正确.
故选：AD.
13．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D．若，则向量在向量上的投影向量为
【答案】AC
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D
【详解】若，则，解得，故A正确．
若，则，解得，故B错误．
若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C正确．
若，则，又，所以向量在向量上的投影向量为，故D错误．
故选：AC．
三、填空题
14．（2024·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则 ．
【答案】
【分析】根据集合的运算即可求解.
【详解】由已知，又，
所以．
故答案为：
15．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.
【详解】因为，，若中有2个元素，
所以，所以，解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：.