2025届新高考数学考点全复习讲义2.8对数函数

这是一份2025届新高考数学考点全复习讲义2.8对数函数，文件包含第八节对数函数答案docx、第八节对数函数docx等2份学案配套教学资源，其中学案共17页， 欢迎下载使用。
1.通过具体实例，了解对数函数的概念；能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
2.知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.
基础知识
1.对数函数
（1）定义：函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是 .
提醒 对数函数y＝lgax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1.
（2）图象与性质
提醒 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
2.反函数
（1）指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换；
（2）y＝ax与y＝lgax的函数图象关于 对称.
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝lg2（x＋1）是对数函数.（ ）
（2）函数y＝ln 1+x1－x与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同.（ ）
（3）函数y＝lg2x与y＝lg121x的图象重合.（ ）
2.已知实数a＝lg32，b＝lg2π，c＝lg210，则有（ ）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
3.函数y＝lg2（x＋1）的图象大致是（ ）

4.（2024·信阳模拟）函数f（x）＝ln（x－1）的定义域为 .
常用结论
1.函数y＝lgax与y＝lg1ax（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称.
2.对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1a，－1），函数图象只在第一、四象限.
3.对数函数的图象与底数大小的比较：如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
结论应用
1.如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是（ ）
A.0＜c＜b＜1＜a B.0＜b＜c＜1＜a
C.1＜b＜c＜a D.1＜c＜b＜a
2.函数y＝lga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点 .
聚焦考点 课堂演练

考点1 对数函数的图象及应用
【例1】 （1）函数y＝lgax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

（2）已知函数f（x）＝｜lg2x｜，实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值为2，则1a＋b＝ .
方法技巧
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想；
（2）对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
跟踪训练
1.已知f（x）＝a－x，g（x）＝lgax，且f（2）·g（2）＞0，则函数f（x）与g（x）的图象是（ ）

2.已知函数f（x）＝lg2x，x>0，3x，x≤0，关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 .
考点2 对数函数的性质及应用
考向1 比较对数式的大小
【例2】 （1）已知实数a＝lg23，b＝lg1312，c＝lg312，则（ ）
A.a＞b＞cB.a＞c＞b
C.b＞c＞aD.c＞b＞a
（2）已知0＜1b＜a＜1，则lgba，lgab，lga1b，－1，1，0的大小关系是 .（用“＜”连接）
方法技巧
比较对数式大小的常见类型及解题方法
考向2 解对数方程或不等式
【例3】 （必修第一册第141页12题改编）若lga4＜1，则a的取值范围为 .
变式
若lga（a2＋1）＜lga（2a）＜0，则a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（0，12）
C.（12，1） D.（0，1）∪（1，＋∞）
方法技巧
求解对数不等式的两种类型及方法
（1）lgax＞lgab：借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
（2）lgax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解.
跟踪训练
1.a＝lg13π，b＝lg3π，c＝lg4π，则（ ）
A.a＜c＜b B.c＜b＜a
C.a＜b＜c D.b＜c＜a
2.设函数f（x）＝21－x，x≤1，1－lg2x，x>1，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A.[－1，2] B.[0，2]
C.[1，＋∞） D.[0，＋∞）
考点3 对数型函数性质的综合问题
【例4】 已知函数f（x）＝lg4（ax2＋2x＋3）.
（1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的最小值为0，求a的值.
方法技巧
与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性.
跟踪训练
1.设函数f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f（x）（ ）
A.是偶函数，且在（－∞，－3）上单调递减B.是奇函数，且在（－3，3）上单调递减
C.是奇函数，且在（3，＋∞）上单调递增D.是偶函数，且在（－3，3）上单调递增
2.已知函数f（x）＝lga（2x－a）在区间［23，34］上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是 .
第八节 对数函数
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（ ）
A.lg2x B.12x
C.lg12x D.2x－2
2.函数f（x）＝lgx＋lg（5－3x）的定义域是（ ）
A.0，53 B.0，53
C.1，53D.1，53
3.已知函数f（x）＝｜lg x｜，若a＝f14，b＝f12，c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
4.函数f（x）＝lg2x4·lg4（4x2）的最小值为（ ）
A.－94 B.－2
C.－32 D.0
5.（多选）函数y＝lga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.a＞1 B.0＜c＜1
C.0＜a＜1D.c＞1
6.（多选）已知函数f（x）＝lg2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的为（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的最大值为0
D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增
7.若函数y＝4＋lga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为 .
8.写出一个具有性质①②③的函数f（x）＝ .
①f（x）的定义域为（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递减.
9.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝lg（3x＋1）－1，则不等式f（x）＞0的解集为 .
10.设f（x）＝lga（1＋x）＋lga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.
（1）求实数a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间［0，32］上的最大值.
综合应用 B
巩固
11.若函数f（x）＝lga（x2＋32x）（a＞0，且a≠1）在区间12，＋∞内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞） B.（2，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（12，＋∞）
12.（多选）已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（ ）
A.f（x）在（0，2）上单调递增
B.f（x）在（0，2）上的最大值为0
C.f（x）的图象关于直线x＝1对称
D.f（x）的图象关于点（1，0）对称
13.已知f（x）＝（1－2a）x+5a，x