2025届新高考数学考点全复习讲义2.7指数函数

这是一份2025届新高考数学考点全复习讲义2.7指数函数，文件包含第七节指数函数答案docx、第七节指数函数docx等2份学案配套教学资源，其中学案共17页， 欢迎下载使用。
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
基础知识
1.指数函数的概念
函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.
提醒 形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2.指数函数的图象与性质
提醒 指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究.
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（ ）
（2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（ ）
（3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数.（ ）
2.（多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（ ）
A.y＝x2 B.y＝2x
C.y＝2x D.y＝3x－1
3.已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是 .
4.若指数函数f（x）＝（a－2）x为减函数，则实数a的取值范围为 .
常用结论
1.函数y＝ax与y＝1ax（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称.
2.画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），－1，1a.
3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.
结论运用
1.已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
2.函数y＝ax－1－1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点 .
聚焦考点 课堂演练

考点1 指数函数的图象及应用
【例1】 （1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0
（2）若函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点，则实数b的取值范围是 .
方法技巧
有关指数函数图象问题的解题策略
（1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除；
（2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
跟踪训练
1.函数y＝ax－a－1（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ ）
2.已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a＝ .
考点2 指数函数的性质及应用
考向1 比较指数式的大小
【例2】 （1）（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞b＞c D.b＞a＞c
（2）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝e−(x－1）2，记a＝f（22），b＝f（32），c＝f（62），则（ ）
A.b＞c＞a B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
方法技巧
比较指数式大小的方法
（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
考向2 解简单的指数方程或不等式
【例3】 已知不等式2x2+1≤（14）x－2的解集为A，则A＝ .
方法技巧
解指数方程或不等式的依据及方法
（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）；
（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
跟踪训练
1.若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是（ ）
A.a＋b≤0 B.a－b≥0
C.a－b≤0 D.a＋b≥0
2.（2024·韶关一模）当0＜x＜12时，方程ax＝1x（a＞0且a≠1）有解，则实数a的取值范围是 .
考点3 指数型函数性质的综合问题
【例4】（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
变式1.若函数f（x）＝a｜2x－4｜（a＞0，且a≠1）满足f（1）＝14，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A.（－∞，2] B.[2，＋∞）
C.[－2，＋∞） D.（－∞，－2]
变式2.已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 .
方法技巧
指数型函数问题的求解策略
涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练
1.若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是（ ）
A.f（－4）＞f（1）B.f（－4）＝f（1）
C.f（－4）＜f（1）D.不能确定
2.若函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，则（ ）
A.a＞1，b＞1B.a＞1，0＜b＜1
C.0＜a＜1，b＞1D.0＜a＜1，0＜b＜1
第六节 指数式、对数式的运算
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.函数f（x）＝（3）x在区间[1，2]上的最大值是（ ）
A.33 B.3
C.3 D.23
2.已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增，则实数a＝（ ）
A.12B.1
C.32D.2
3.函数y＝x｜x｜ex图象的大致形状是（ ）
4.（2024·合肥模拟）已知a＝223，b＝313，c＝2516，则（ ）
A.b＜a＜c B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.c＜a＜b
5.函数y＝（13）4x－x2的单调递增区间是（ ）
A.[1，2] B.[1，3]
C.（－∞，2] D.[2，＋∞）
6.（多选）已知f（x）＝1－2x1+2x，则（ ）
A.f（x）为奇函数 B.f（x）为偶函数
C.f（x）为增函数 D.f（x）为减函数
7.已知函数f（x）＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n－mx的图象不经过第 象限.
8.已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a＝ .
9.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝ .
10.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.
（1）若f（x）的图象如图①所示，求实数a，b的取值范围；
（2）若f（x）的图象如图②所示，｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围.
综合应用 B
巩固
11.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，则在不等式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是（ ）
A.（－∞，－15）
B.（－15，＋∞）
C.（－∞，－15）∪（－15，＋∞）
D.R
12.设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝f（x),f（x）≤K，K，f（x）＞K.取函数f（x）＝2－｜x｜.当K＝12时，函数fK（x）的单调递增区间为（ ）
A.（－∞，0） B.（0，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（1，＋∞）
13.（多选）（2024·宜昌模拟）若函数f（x）＝a＋22x+1（x∈R）是奇函数，下列选项正确的是（ ）
A.a＝－1
B.f（x）是增函数
C.f（x）是减函数
D.不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为t｜t≥43
14.已知函数f（x）＝2x的定义域是[0，3]，设g（x）＝f（2x）－f（x＋2）.
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值和最小值.
15.已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函数.
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求实数m的取值范围.底数
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域为 ，值域为
图象过定点
当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1
当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1