高考数学考点全复习讲义1.4基本不等式（含答案）

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2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
课程目标
1.基本不等式ab≤a＋b2
（1）基本不等式成立的条件是 a＞0，b＞0 ；
（2）等号成立的条件是：当且仅当 a＝b 时取等号；
（3）其中a＋b2叫做正数a，b的 算术 平均数，ab叫做正数a，b的 几何 平均数.
提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
2.基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p（简记：积定和最小）；
（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q24（简记：和定积最大）.
课程目标
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x＋1x的最小值是2.（ × ）
（2）x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.（ × ）
（3）两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.（ × ）
2.设a＞0，则4a＋1a的最小值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：A 因为a＞0，所以4a＋1a≥24a×1a ＝4，当且仅当4a＝1a，即a＝12时等号成立，
所以4a＋1a的最小值为4.故选A.
3.(多选)下面结论不正确的有( ).
A.不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的
B.函数y=|x|+1|x|的最小值是2
C.函数f(x)=sinx+4sinx的最小值为4
D.“x>0且y>0”是“yx+xy≥2”的充要条件
解析 对于A,使a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,而使a+b2≥ab成立的条件是a,b都是非负数,故A不正确;对于B,|x|+1|x|≥2|x|·1|x|=2,故B正确;对于C,sinx∈[-1,1],所以C不正确;对于D,“x>0且y>0”是“yx+yy≥2”的充分不必要条件,故D不正确.
4.函数y＝x（4－x）的最大值为 94 .
解析：y＝x（4－x）≤（x+4－x2）2＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时等号成立.
5.函数y＝x＋1x+1（x≥0）的最小值为 1 .
解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，1x+1＞0，利用基本不等式得y＝x＋1x+1＝x＋1＋1x+1－1≥2（x+1）·1x+1－1＝1，当且仅当x＋1＝1x+1，即x＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋1x+1（x≥0）的最小值为1.
常用结论
1.ba＋ab≥2（a，b同号）.
2.ab≤（a＋b2）2（a，b∈R）.
3.a2＋b22≥（a＋b2）2（a，b∈R）.
4.a2＋b22≥a＋b2≥ab＞0（a＞0，b＞0）.
结论运用
1.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（ ）
A.9 B.18
C.36 D.81
解析：A 因为x＞0，y＞0，且x＋y＝18，所以由结论4知xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故xy的最大值为9.
2.函数f（x）＝x2＋2x+1x（x＞0）的最小值是 4
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：C 由结论1知x2＋2x+1x＝x＋1x＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝1时，等号成立，故f（x）的最小值为4.故选C.
聚焦考点 课堂演练

考点1 利用基本不等式求最值
法1 配凑法
【典例1】 （1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为 24 ；
（2）设x>0,则3-3x-1x的最大值是( ).
A.3 B.3-22
C.-1 D.3-23
解析：（1）y＝6x（4－x）≤6（x+4－x2）2＝24，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，y＝3x（8－2x）有最大值24.
（2）因为x>0,所以3x+1x≥23x·1x=23,当且仅当x=33时,等号成立,所以-3x+1x≤-23,则3-3x-1x≤3-23.
方法技巧
配凑法求最值的实质及关键点
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.
法2 常数代换法
【典例2】（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为 4 .
（2）知非负实数x,y满足13x+y+12y+2=1,则x+y的最小值为( ).
A.16 B.14C.12 D.23
解析：（1）因为a＋b＝1，所以1a＋1b＝（1a＋1b）·（a＋b）＝2＋（ba＋ab）≥2＋2 ba·ab＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝12时，取等号.
（2）非负实数x,y满足13x+y+12y+2=1,有3x+y>0,2y+2>0,则x+y=13[(3x+y)+(2y+2)]-23=1313x+y+12y+2[(3x+y)+(2y+2)]-23=132+2y+23x+y+3x+y2y+2-23≥13·22y+23x+y·3x+y2y+2=23,当且仅当2y+23x+y=3x+y2y+2,即3x+y=2y+2时取“=”,由3x+y=2y+2,13x+y+12y+2=1,得x=23,y=0,所以当x=23,y=0时,x+y的最小值为23.
方法技巧
常数代换法求最值的基本步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
（4）利用基本不等式求最值.
法3 消元法
【典例3】 （必修第一册第58页5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为 6 .
解析：法一 ∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝b+3b－1且b－1＞0，∴a＋b＝b+3b－1＋b＝1＋4b－1＋b＝4b－1＋b－1＋2≥24b－1·（b－1）＋2＝6，当且仅当4b－1＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值.
法二 由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，所以a＞1，b＞1，所以a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2（a－1)(b－1）＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值.
法三 因为ab＝a＋b＋3≤14（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又因为a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）.
变式
已知x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，则x＋y的最小值是（ ）
A.1 B.4
C.7 D.3＋17
解析：C 由x＞2，y＞1，xy－x－2y＝2，得（x－2）·（y－1）＝4，所以x＋y＝（x－2）＋（y－1）＋3≥2（x－2)(y－1）＋3＝7，当且仅当x=4，y=3时，等号成立.
方法技巧
消元法求最值的思路
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.
跟踪训练
1.(多选)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则下列结论正确的是( ).
A.xy的取值范围是(0,9]
B.x+y的取值范围是[2,3)
C.x+2y的最小值是42-3
D.x+4y的最小值是3
解析：对于A,因为x>0,y>0,所以x+y≥2xy,当且仅当x=y时取等号,由x+y+xy-3=0,得3-xy=x+y,即3-xy≥2xy,解得00,3-(x+y)=xy≤x+y22,当且仅当x=y时取等号,得(x+y)2+4(x+y)-12≥0,所以x+y≥2,又3-(x+y)=xy>0,所以x+y0,x+y+xy-3=0,得x=-y+3y+1=-1+4y+1,所以x+2y=-1+4y+1+2y=4y+1+2(y+1)-3≥42-3,当且仅当4y+1=2(y+1),即y=2-1时等号成立,C正确;
对于D,由C选项知x=-y+3y+1=-1+4y+1,则x+4y=-1+4y+1+4y=4y+1+4(y+1)-5 ≥24y+1·4(y+1)-5=3,当且仅当4y+1=4(y+1),即y=0时等号成立,但y>0,所以x+4y>3(等号取不到),故D错误.
2.若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为 2 ，1a＋2b的最小值为 94 .
解析：∵a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝12a·2b≤12×（a+2b2）2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵1a＋2b＝（1a＋2b）·a+2b4＝14（5＋2ba＋2ab）≥14·（5＋22ba·2ab）＝94，当且仅当a＝b时等号成立，∴1a＋2b的最小值为94.
考点2 基本不等式的综合应用
【典例4】 （2024·绍兴质检）若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.（－4，1）
B.（－∞，0）∪（3，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（4，＋∞）
D.（－1，4）
解析：C 因为两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，所以x＋y4＝（x＋y4）（1x＋4y）＝2＋4xy＋y4x≥2＋24xy·y4x＝4，当且仅当4xy＝y4x，即x＝2，y＝8时取等号，因为不等式x＋y4＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋y4的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选C.
方法技巧
利用基本不等式解题的策略
（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解；
（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解；
（3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围.
跟踪训练
若对任意正数x，不等式2x2+4≤2a+1x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.［－14，＋∞）
C.［2，＋∞） D.［3，＋∞）
解析：B 依题意得，当x＞0时，2a＋1≥2xx2+4＝2x＋4x恒成立，又因为x＋4x≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以2x＋4x的最大值为12，所以2a＋1≥12，解得实数a的取值范围为［－14，＋∞）.故选B.
考点3 利用基本不等式解决实际问题
【典例5】 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝1 000v0.7v+0.3v2＋d0，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A.131 B.149
C.150D.145
解析：B 由题意得，N＝1 000v0.7v+0.3v2+30＝1 0000.7+0.3v＋30v≤1 0000.7+20.3×30≈149，当且仅当0.3v＝30v，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
方法技巧
利用基本不等式解决实际问题的策略
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
（3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
跟踪训练
港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ）
A.两种方案一样 B.第二种方案划算
C.第一种方案划算D.无法确定
解析：B 任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升，第一种方案的均价：30m+30n60＝m＋n2≥mn；第二种方案的均价：400200m＋200n＝2mnm＋n≤mn.所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故选B.