2025届新高考数学考点全复习讲义2.10函数的零点与方程的解

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2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.
基础知识
1.函数的零点
（1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使 f（x）＝0 的实数x叫做函数y＝f（x）的零点；
（2）几个等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）的图象与 x轴有公共点 ⇔函数y＝f（x）有 零点 .
提醒 函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在定理
（1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；② f（a）f（b） ＜0.
（2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得 f（c）＝0 ，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
提醒 函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数.
3.二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间 一分为二 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
（2）求区间（a，b）的中点c；
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c.
（4）判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）.
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（ × ）
（2）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0.（ × ）
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac＜0时没有零点.（ √ ）
（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（ × ）
2.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
解析：A 根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点.
3.函数f（x）＝ln x－2x的零点所在的区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，e） D.（e，3）
解析：C 因为函数f（x）＝ln x－2x在定义域（0，＋∞）内是一条连续不断的曲线，且f（2）＝ln 2－1＜0，f（e）＝ln e－2e＝1－2e＞0，所以必存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函数f（x）＝ln x－2x的零点所在的区间是（2，e），故选C.
4.函数f（x）＝x2＋x－2，x≤0，－1+lnx，x>0的零点个数为（ ）
A.3 B.2
C.7 D.0
解析：B 由x≤0，x2＋x－2=0或x>0，－1+lnx=0，解得x＝－2或x＝e，故f（x）有两个零点.
5.（2024·济宁一模）若函数f（x）＝2ax2－x－1在（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 （1，＋∞） .
解析：当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不符合题意.当a≠0时，若Δ＞0，f（0）·f（1）＜0，则a＞1.若Δ＝0，即a＝－18，函数的零点是x＝－2，不符合题意.
常用结论
有关函数零点的结论
（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点；
（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
（3）周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点.
结论运用
下列说法正确的为（ ）
A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定变号
B.相邻两个零点之间的所有函数值一定同号
C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上一定有实根
D.“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
解析：C 由结论知A错误；当函数不连续时，B不一定成立，故B错误；由零点存在定理可得C正确；由于“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误.故选C.
聚焦考点 课堂演练

考点1 函数零点区间的判定
【例1】 函数f（x）＝lg3x＋x－2的零点所在的区间为（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
解析：B 法一 函数f（x）＝lg3x＋x－2的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，图象是一条连续曲线.由题意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝lg32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f（x）＝lg3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间（1，2）内.
法二 函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝lg3x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选B.
方法技巧
1.确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点；
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断.
跟踪训练
1.（多选）函数f（x）＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点（ ）
A.（－2，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，2）
解析：AD f（－2）＝1e2＞0，f（－1）＝1e－1＜0，f（0）＝－1＜0，f（1）＝e－3＜0，f（2）＝e2－4＞0，因为f（－2）·f（－1）＜0，f（1）·f（2）＜0，所以f（x）在（－2，－1）和（1，2）内必存在零点.
2.已知函数f（x）＝lgax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝ 2 .
解析：对于函数y＝lgax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝lgax，y＝－x＋b的图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在（2，3）内，∴函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1）时，n＝2.
考点2 函数零点个数的判定
【例2】 （1）已知函数f（x）＝ln（x－1),x>1，2x－1－1，x≤1，则f（x）的零点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
（2）函数f（x）＝｜x－4｜－1x的零点的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：（1）C （2）D
解析：（1）当x＞1时，令f（x）＝ln（x－1）＝0，得x＝2；当x≤1时，令f（x）＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C.
（2）令f（x）＝｜x－4｜－1x＝0，得｜x－4｜＝1x，在同一坐标系中分别画出函数y＝｜x－4｜与y＝1x的图象如图所示，由图象可知两个函数图象有三个交点，所以函数有3个零点，故选D.
方法技巧
判断函数零点个数的3种方法
（1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，则f（x）就有多少个零点；
（2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
（3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练
函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：B 法一 ∵f（0）·f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函数f（x）在R上为增函数且连续，∴函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.
法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.
考点3 函数零点的应用
考向1 根据函数零点个数求参数
【例3】 已知函数f（x）＝｜x－3|−1，x≥0，－x2+2，x0，g（2）0，解得－12＜m＜0，
故实数m的取值范围是－12，0.
综合应用 B
巩固
11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（ ）
A.6 B.7
C.12 D.13
解析：D 因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f12＝f－12，f12＝－f－12，因此f12＝f－12＝0，则f－52＝f－32＝f－12＝f12＝f32＝f52＝0，故f（x）在[－3，3]上至少有13个零点，故选D.
12.已知e是自然对数的底数，关于x的方程e｜x－2｜＝x有两个不同的解x1，x2（x1＜x2），则（ ）
A.x1＜1，x2＞3 B.x1＞1，x2＜3
C.x1＞1，x2＞3 D.x1＜1，x2＜3
解析：C 令f（x）＝e｜x－2｜－x，则函数f（x）的图象在R上连续.∵f（1）＝e－1＞0，f（2）＝1－2＝－1＜0，f（3）＝e－3＜0，f（4）＝e2－4＞0，∴f（1）f（2）＜0，f（3）f（4）＜0，∴函数f（x）在区间（1，2），（3，4）上各有一个零点，即1＜x1＜2，3＜x2＜4，故选C.
13.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，且f（1）＝－a2，3a＞2c＞2b.求证：
（1）当a＞0时－3＜ba＜－34；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点.
证明：（1）∵f（1）＝a＋b＋c＝－a2，∴c＝－32a－b.
∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.
∵2c＞2b，∴－3a＞4b.
∵a＞0，∴－3＜ba＜－34.
（2）∵f（0）＝c，f（2）＝4a＋2b＋c，
f（1）＝－a2，Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝（b＋2a）2＋2a2＞0.
当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0，
∴f（x）在（0，2）内至少有一个零点；
当c＝0时，f（0）＝0，f（1）＜0，f（2）＝4a＋2b＝a＞0，∴f（x）在（0，2）内有一个零点；
当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b＝－32a－c，f（2）＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f（x）在（0，2）内有一个零点.
综上，f（x）在（0，2）内至少有一个零点.
14.设函数f（x）＝3x－1，x0，x+1，x≤0.
（1）求g[f（1）]的值；
（2）若方程g[f（x）]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围.
解：（1）利用解析式直接求解得g[f（1）]＝g（－3）＝－3＋1＝－2.
（2）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（－∞，1）上有2个不同的根，
则原方程有4个根等价于函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g（t）（t＜1）的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a＜54时，函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a有2个不同的交点，故所求a的取值范围是1，54.