2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.7　指数与指数函数(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.7　指数与指数函数(学生版+解析)，共18页。

知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么________叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝________.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝________，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)．
正数的负分数指数幂：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝__________；(ar)s＝____________；(ab)r＝________(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,－44)＝－4.( )
(2)2a·2b＝2ab.( )
(3)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1的值域是(0，＋∞)．( )
(4)若am0，且a≠1)，则m0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
题型一 指数幂的运算
例1 计算：
(1)(－1.8)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2·eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))2)－eq \f(1,\r(0.01))＋eq \r(93)；
(2)(a>0，b>0)．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 计算：
(1)÷eq \r(\r(3,a－7)·\r(3,a13)) ；
(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))0＋＋(eq \r(2)·eq \r(3,3))6.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中可能正确的是________．(填序号)
①a＝b；②b0；④a0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,－44)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1的值域是(0，＋∞)．( × )
(4)若am0，且a≠1)，则m0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
答案 2或eq \f(1,2)
解析 若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若00)．
解 (1)(－1.8)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2·eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))2)－eq \f(1,\r(0.01))＋eq \r(93)
＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·－10＋
＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)

＝2×eq \f(1,100)×8＝eq \f(4,25).
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 计算：
(1)÷eq \r(\r(3,a－7)·\r(3,a13)) ；
(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))0＋＋(eq \r(2)·eq \r(3,3))6.
解 (1)因为eq \r(a－3)有意义，所以a>0，
所以原式＝＝eq \r(3,a3)÷eq \r(a2)
＝a÷a＝1.
(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中可能正确的是________．(填序号)
①a＝b；②b0；④a