第四章曲线运动第二十五课时探究向心力大小的表达式2025高考物理二轮专题

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分别作出Fn-ω2、Fn-r、Fn-m的图像
探究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置如图所示，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度，做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。
（1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力 大小和角速度的关系，下列说法正确的是 ⁠。
（2）当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右 边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分 格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之 比为 ⁠。
难点助攻（1）探究向心力大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的数量关系时 应采用控制变量法进行研究。
（2）熟悉实验装置，知道ω、r的调节方法，知道可从标尺上端露出 的等分格读出两个小球所受向心力的大小之比。
解析：（1）要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需 控制小球的质量和运动半径不变，所以选项A正确，选项B、 C、D错误。
　在探究小球做圆周运动所需向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和 半径r之间的关系的实验中。
（1）本实验采用的实验方法是 ⁠。
解析：在实验时需先控制某些量不变，研究另外两个物理 量的关系，该方法为控制变量法。故B正确。
（2）甲同学在进行如图甲所示的实验，他是在研究向心力的大小Fn 与 的关系。可以得到的正确结果是 ⁠ ⁠ ⁠。
做圆周运动的物
体，在转动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量
解析：甲同学在进行如题图甲所示的实验时，由题图甲可 知，两球一个为铝球一个为钢球，质量不同，所以他是在研究 向心力的大小Fn与质量的关系，故得到的正确结果是做圆周运 动的物体在转动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与 质量成正比。
（3）乙同学把两小球都换为钢球，且质量相等，如图乙所示，实验 中观察到标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力 的比值为1∶4。由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔 轮相对应的半径之比为 ⁠。
解析： 两球所受向心力之比为1∶4，转动半径和质量相 等，根据Fn＝mω2r，则转动的角速度之比为 1∶2，因为两变速 塔轮靠皮带传动，变速塔轮边缘的线速度大小相等，根据v＝ωr' 知与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为2∶1。
【典例2】　某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度和质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
（1）用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。
（2）将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器 的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体 数据如表所示：
请在下面的坐标图中，画出F-v2的关系图像。
（3）由图像可知，钢球的重力为 N。
（4）若图像的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的 关系式为 （用所给物理量的符号表示）。
0.104（0.102～0.106均可）
光电门测出的是遮光条通过时的
速度，大于钢球球心通过最低点的速度
解析：(2)画出F-v2的关系图像如图所示：
（5）产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度。
1. 某同学计划用如图所示（俯视图）的装置验证物体质量不变情况下 向心力与角速度的关系，实验步骤如下：a.测量重物的质量，记为m，将重物和弹簧穿在较光滑的水平横杆 上后，弹簧一端连接重物，另一端固定在竖直转轴上，测量重物静 止时到竖直转轴的距离，记为r；b.竖直转轴在电机驱动下带动水平横杆一起转动，当重物运动状 态稳定时，记下重物到竖直转轴的距离R和横杆转动50圈所需的 时间t；c.改变竖直转轴的角速度，测得多组数据。
请回答下列问题：（1）重物做圆周运动的周期T＝ ，重物做圆周运动所需的向 心力Fn＝ （用测得的物理量符号表示）。
2. 某实验小组用如图甲所示装置探究向心力大小与线速度大小和运动半径的关系。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，水平直杆的左侧固定宽度为d的挡光条，挡光条到竖直转轴的距离为2r，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，滑块到转轴的距离为r，细线处于水平伸直状态，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。安装在铁架台上的光电门可测遮光条通过光电门的时间。
（1）用游标卡尺测量遮光条的宽度如图乙所示，宽度d ＝ cm；
解析：用游标卡尺测量遮光条的宽度如图乙所示，则d ＝8 mm＋5×0.1 mm＝8.5 mm＝0.85 cm。
巧学 妙解 应用
　　1. 如图所示，图甲为“用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意 图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮 半径相同。a、b两轮在皮带的带动下匀速转动。
（1）两槽转动的角速度ωA ωB（选填“＞”“＝”或 “＜”）。
解析： 因皮带传送，边缘上的点的线速度大小相等，又 a、b两轮半径相同，所以a、b两轮转动的角速度相同，而两 槽的角速度与两轮的角速度相同，则 ωA＝ωB。
（2）现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽 的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，则钢球①、② 的线速度之比为 ，受到的向心力之比为 ⁠。
解析： 钢球①、②的角速度相同，半径之比为2∶1，则 根据v＝ωr可知，线速度之比为2∶1；根据Fn＝mω2r可知，受 到的向心力之比为2∶1。
2. 某同学利用如图甲所示的向心力演示器探究小球做圆周运动所需向 心力大小F与小球质量m、运动半径r和角速度ω之间的关系。
（1）本实验采用的主要实验方法为 （选填“等效 替代法”或“控制变量法”）。在探究小球做圆周运动所需 向心力的大小F与运动半径r的关系时，把两个相同 ⁠ 的小球放到半径r不等的长槽和短槽上，保证两变速塔轮 的 相同，根据标尺上露出的红白相间等分标记， 粗略计算出两个球所需向心力的比值；
解析：本实验通过控制小球质量m、运动半径r和角速度ω这三个物理量中两个量相同，探究向心力F与另一个物理量之间的关系，采用的主要实验方法为控制变量法。在探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与运动半径r的关 系时，需要控制m和ω相同，即把两个相同质量的小球放到半 径r不等的长槽和短槽上，保证两变速塔轮的角速度相同。
（2）另一同学利用如图乙所示的接有传感器的向心力实验器来进 行实验。力传感器可直接测量向心力的大小F，旋臂另一端的 挡光杆经过光电门传感器时，系统将自动记录其挡光时间， 用螺旋测微器测量挡光杆的宽度d，示数如图丙所示，则d ＝ mm，挡光杆到转轴的距离为R。某次挡光杆经过 光电门时的挡光时间为Δt，可求得挡光杆的角速度ω的表达式 为 （用题目中所给物理量的字母符号表示）。
该同学保持砝码质量和运动半径r不变，探究向心力F与角速度ω的关 系，作出F-ω2图线如图丁所示，若砝码运动半径r＝0.2 m，牵引杆的 质量和一切摩擦可忽略，由F-ω2图线可得砝码质量m＝ ⁠kg （结果保留2位有效数字）。
（2）小明按上述实验将测算得的结果用作图法来处理数据，如图 乙所示，纵轴F为力传感器读数，横轴为ω2，图线不过坐标原 点的原因是 ，用电子天平测得物块质 量为1.50 kg，直尺测得半径为50.00 cm，图线斜率大小 为 （结果保留2位有效数字）。
解析：由牛顿第二定律得F＋Ff＝mω2r图线不过坐标原点的原因是受到摩擦力的影响。斜率为k＝mr＝0.75 kg·m。
4. 为验证做匀速圆周运动物体的向心加速度与其角速度、轨道半径间 的定量关系a＝ω2r，某同学设计了如图所示的实验装置。其中AB是 固定在竖直转轴OO'上的水平凹槽，A端固定的压力传感器可测出小 钢球对其压力的大小，B端固定一宽度为d的挡光片，光电门可测量 挡光片每一次的挡光时间。
①测出挡光片与转轴的距离为L；②将小钢球紧靠传感器放置在凹槽上，测出此时小钢球球心与转轴 的距离为r；③使凹槽AB绕转轴OO'匀速转动；④记录下此时压力传感器示数F和挡光时间Δt。
（2）若忽略小钢球所受摩擦，则要测量小钢球加速度，还需要测 出 ，若该物理量用字母x表示，则在误差允 许范围内，本实验需验证的关系式为 （用 L、d、Δt、F、r、x表示）。
5. 某同学用如图甲所示装置做探究向心力大小与角速度大小关系的实 验。水平直杆随竖直转轴一起转动，滑块套在水平直杆上，用细线 将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细线处于水平伸直状 态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，拉力的大小可以通过力传 感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。
（1）滑块和角速度传感器的总质量为20 g，保持滑块到竖直转轴的 距离不变，多次仅改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传 感器的示数F及角速度传感器的示数ω，根据实验数据得到的 F-ω2图像如图乙所示，图像没有过坐标原点的原因是 ⁠ ，滑块到竖直转轴的距离为 m。（计算 结果保留三位有效数字）
（2）若去掉细线，仍保持滑块到竖直转轴的距离不变，则转轴转 动的最大角速度为 rad/s。