重难点03 力与曲线运动-2025年高考物理 热点 重点 难点 专练（新高考通用）

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【课标要求】
1.掌握运动的合成与分解的方法及两种重要模型：关联速度问题和小船渡河问题。
2.掌握平抛运动、斜抛运动、类平抛运动的分析方法，能从实际情景中抽象出抛体运动模型。
3.会分析常见圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动的问题。
【考查方向】
高考命题一方面以选择题的形式出现，重点考查平抛运动、圆周运动等运动特点和动力学规律，另一方面与其他知识点综合出现在计算题中。可能单独考查某一种运动形式，也可能把多过程的曲线运动与功能关系、受力分析结合进行考查。
【备考建议】
复习本专题时，要熟练掌握抛体运动的分析方法合成与分解的方法；灵活运用动力学方法分析圆周运动的瞬时问题；熟练掌握用动能定理分析竖直平面内圆周运动的过程问题，提升处理多过程问题的能力；熟练掌握竖直面内的圆周运动的轻绳模型和轻杆模型在最高点的临界特点。
【情境解读】
1.生活实际场景：如汽车在弯道上转弯，需分析向心力的来源（摩擦力等）；又如运动员投掷铅球，考虑铅球出手后受重力作用做曲线运动，通过运动轨迹和速度变化考查力与运动的关系，涉及平抛运动知识，包括水平匀速、竖直自由落体的运动规律，以及速度、位移的合成与分解。
2.科技应用领域：像卫星绕地球的椭圆轨道运动，依据万有引力定律，分析不同位置的速度、加速度变化，涉及开普勒定律；还有带电粒子在磁场中受洛伦兹力做圆周运动，通过给定磁场强度、粒子电量和质量等条件，求解粒子运动半径、周期等，常与几何知识结合确定圆心和半径。
3.实验情境模拟：例如在光滑水平面上，用绳子系着小球做圆周运动，通过改变绳子拉力、小球质量等因素，探究向心力与各物理量的关系，考查学生对实验原理、数据处理和误差分析的能力，可能涉及控制变量法的运用以及对向心力公式的理解和验证。
【高分技巧】
一、关联速度中常见的速度分解模型
二、平抛运动
1.飞行时间:由知,飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关.
2.水平射程: ,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关.
3.落地速度: ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有,所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关.
4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向恒为竖直向下.
5.平抛运动的两个重要结论
①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有.
推导：
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，
如图所示，即.
推导：
三、圆周运动
动力学公式：F＝ma＝meq \f(v2,R)＝mω2R＝mωv＝meq \f(4π2,T2)R＝m4π2f2R.
两类模型对比
（建议用时：40分钟）
一、单选题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）图甲是我国古代重要技术发明——扇车，图乙是某理想化扇车的截面图。图乙中A位于喂料斗入口的正下方，A、B、C、D在同一水平面上，BC和CD是两个出料口，AB、BC、CD的长度相等。当喂料口有谷物由静止落入扇车后，运动中受到风扇匀速转动所产生的恒定水平风力，能使不同饱满程度的谷粒从不同出料口离开扇车，达到分拣谷物的目的。设质量为m的饱满谷粒在重力和风力的作用下恰好落在出料口的B点，已知谷粒Р质量为，谷粒Q的质量为，它们所受的水平风力和饱满谷粒相同。则P、Q自进料口由静止落下后离开扇车的位置，正确的是（ ）
A．P从BC口离开，Q从CD口离开B．P和Q都从CD口离开
C．P从BC口离开，Q从DE口离开D．P从CD口离开，Q从DE口离开
【答案】C
【知识点】平抛运动位移的计算、两个变速直线运动的合成
【详解】设AB=BC=CD=x，所有谷粒从入料口到出料口的高度相同，则运动时间相同，设为t，则对落到B点的饱满颗粒
对谷粒Р
可知落到BC口离开；对谷粒Q
则Q从DE口离开。
故选C。
2．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，竖直平面内有半径为R的光滑半圆环BCD，AB在同一竖直线上且与直径BD的夹角为，现有一质量为m的小球（大小忽略不计）从A点静止释放，落到B点时可通过一大小忽略不计的拐角与半圆BCD平滑相接，认为通过时无能量损失，小球恰好能通过半圆轨道最高点D，在空中运动一段时间后又恰好落在B点。下列说法中正确的是（ ）
A．
B．从D点落到B点的时间
C．过D点的速度为
D．AB的长度为
【答案】D
【知识点】斜抛运动、用动能定理求解外力做功和初末速度
【详解】沿BD和垂直BD方向建立直角坐标系，可以知道从D点飞出后
，
，
又因为小球恰好通过D点，即
有
联立上式可得
，，A到D过程中，由动能定理可得
所以
故选D。
3．（2024·山西·一模）大同市永泰门的音乐喷泉，为南城墙的城门广场增加了吸引力和活力。已知喷泉竖直喷射时，能喷射的最大高度为31.25m。若喷头方向与水平方向夹角为，不计喷头高度和空气阻力，重力加速度取，则喷出的水落地时到喷头的距离为（ ）
A．62.5mB．25mC．125mD．150m
【答案】A
【知识点】斜抛运动
【详解】 喷泉竖直喷射的最大高度为31.25m，由
得
设喷头与水平方向夹角为，则射程
联立得
当夹角为，为62.5m
故选A。
4．（2024·浙江宁波·一模）同学们设计了一个“地面飞镖”的游戏，如图所示，投掷者需站在投掷线后的一条直线上将飞镖水平抛出，飞镖落在水平放置的盘面内即可获得奖励。如图所示，甲同学将飞镖从较高的点以水平速度抛出，乙同学从较低的点以水平速度抛出，两飞镖落于盘面的同一点，且两飞镖与盘面夹角相同，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．两飞镖落到点的速度相同
B．抛出点与落点三点必共线
C．要使飞镖均落到盘面内，则从点抛出的水平速度范围更大
D．从两点水平抛出的飞镖，只要落到盘面内则必落到同一点
【答案】B
【知识点】速度偏转角与位移偏转角
【详解】A．甲同学飞镖落在C点时竖直方向上的分速度
甲同学飞镖落到C点的速度
乙同学飞镖落在C点时竖直方向上的分速度
乙同学飞镖落到C点的速度
由于，故两飞镖落到点的速度不同，A错误；
B．由于两飞镖在C点速度与水平方向夹角相同，根据平抛运动的推论速度与水平方向夹角的正切值为位移方向夹角正切值的2倍，二者位移方向的偏角相等，故、三点必共线，B正确
C．结合上述分析可知
可知，同时运动时间甲同学的飞镖运动时间更长，而水平变化位移相同，对应的甲的变化时间更小，故从点抛出的水平速度范围更小，C错误；
D．由于运动时间与水平抛出的速度大小均不相同，二者可能会落在同一点，也可能不落在同一点，D错误。
故选B。
5．（2024·北京朝阳·模拟预测）一个质量为的空心环形薄板（其厚度一定、质量均匀分布），内径为，内径和外径之比为。当薄板在水平冰面上以角速度匀速转动时，其因转动而具有的动能大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式、动能的定义和表达式
【详解】空心环形薄板具有的平均速度为
所以因转动而具有的动能大小为
故选D。
6．（2024·河南·模拟预测）A、B两个粗细均匀的同心光滑圆环固定在竖直转轴上，圆心O在转轴上，两环和转轴在同一竖直面内，a、b两个小球分别套在A、B两个圆环上，当两环绕竖直轴匀速转动后，a、b两球在环上的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】圆锥摆问题
【详解】对小环受力分析如图
由牛顿第二定律得
故
两小球角速度相同，故h相同，即在同一个水平面内做圆周运动。
故选B。
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，光滑水平面内有一墙面，点处有两个小球，小球甲以恒定速率斜向墙面射出，小球甲与墙发生碰撞前速度方向与法线夹角为。小球甲与墙面碰撞前后速度方向关于法线对称，速度大小不变，小球甲与墙面碰撞前后均做匀速直线运动，在击出小球甲的同时将小球乙以与小球甲速度方向夹角为的方向、恒定速率射出，要使小球甲能够与小球乙发生碰撞，不计小球甲与墙面的碰撞时间，下列说法正确的是（ ）
A．当时，小球乙的最小速度，此时
B．当时，小球乙的最小速度，此时
C．当时，小球乙的最小速度，此时
D．当时，小球乙的最小速度，此时
【答案】BC
【知识点】合运动与分运动的概念及关系
【详解】设小球甲与墙面碰撞前位移为，经历时间为，则，与墙面碰撞后与乙碰撞前的位移为，经历时间为，则
小球乙从开始运动到碰撞过程的位移为，则
根据正弦定理有
联立解得
，
令
可得
当时最小，此时有
最小速度
AB．当时，小球乙的最小速度，此时，故A错误，B正确；
CD．当时，小球乙的最小速度，此时，故C正确；D错误。
故选BC。
8．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）小明设计实验研究“淋雨量”与移动速度的关系。分别把面积相同的吸水纸挡在头顶和挡在身前，以速度大小v向右穿过长度相同的一段下雨的区域，如图所示。挡在头顶的吸水纸质量增加，挡在身前的吸水纸质量增加。已知雨滴匀速下落，可视作密度均匀的介质。下列关于和的说法正确的有（ ）
A．与v无关B．v越大越小
C．与v无关D．v越大越小
【答案】BC
【知识点】生活中其他的运动分解现象、生活中其他的运动分解现象、合运动与分运动的概念及关系、合运动与分运动的概念及关系
【详解】由题意，可知吸水纸质量增加量等于纸档通过下雨区域时，所吸收的雨水质量。设纸档面积为，单位时间降雨量质量为，则纸档挡在头顶时，穿过该下雨区域吸水纸质量增加量为
纸档挡在身前时，则纸档穿过该下雨区域吸水纸质量增加量为
显然，与有关，越大，越小；与无关。
故选BC。
9．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
A．b点的线速度小于d点的线速度B．d点的加速度不变
C．b点和c点的速度大小可能相等D．c点的速度不变
【答案】AC
【知识点】周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式、斜牵引运动的运动分解
【详解】A．ad杆绕a点匀速转动，因bd两点绕a点同轴转动，可知角速度相等，根据v=ωr可知，b点的线速度小于d点的线速度，选项A正确；
B．ad杆绕a点匀速转动，d点的加速度大小不变，但方向不断变化，选项B错误；
C．由速度的分解知识可知
则当时b点和c点的速度大小相等，因vb大小不变，则选项C正确；
D．b点的速度不变，则根据
可知c点的速度大小不断变化，选项D错误。
故选AC。
10．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有
B．若小球从A到运动时间为，则
C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为
D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为
【答案】BD
【知识点】曲面结合的平抛运动、平抛运动速度的计算、速度偏转角与位移偏转角
【详解】A．设，则平抛运动位移的偏转角为
当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得
综合可得
故A错误；
B．小球从A到，由平抛运动的规律可得
，
由几何关系可得
综合解得
故B正确；
CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点点时的速度为
结合
，，
综合可得
由数学知识可得
则的最小值为，故C错误，D正确。
故选BD。
11．（2024·四川达州·一模）滑滑板是一项青少年酷爱的运动，依靠自身的体能，快速的运动艺术。一青少年在一次训练中的运动简化如图所示，青少年以速度v0 = 6.0 m/s从P点进入曲面轨道，从O点离开曲面轨道，离开O点时的速度与水平方向夹角为30°，最后恰好落在平台上的N点，O、N两点的连线与水平方向夹角也为30°。已知重力加速度g取10 m/s2，平台到曲面轨道右侧距离，P点到O点的竖直高度h = 0.5 m，青少年和滑板（视为质点）总质量m = 60 kg，忽略空气阻力。青少年在此运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．从O点到N点的运动时间为2 s
B．在曲面轨道上克服摩擦力做的功为30 J
C．青少年落在N点前瞬间重力的功率为4500 W
D．青少年离ON连线的最远距离为1 m
【答案】BC
【知识点】斜抛运动、平均功率与瞬时功率的计算、应用动能定理求变力的功
【详解】A．设O点的速度为v，根据矢量三角形定则，知水平分速度为
竖直分速度为
从O点到N点，青少年水平做匀速直线运动
竖直方向做竖直上抛运动
联立解得
（负值舍去）
故A错误；
B．从P点到O点，根据动能定理
解得在曲面轨道上克服摩擦力做的功为
故B正确；
C．青少年落在N点前瞬间竖直速度
故重力的功率为
故C正确；
D．将O点的速度为v和重力加速度g分解到沿ON方向和垂直ON方向
垂直ON方向速度减为零时，青少年离ON连线的距离最远，时间
青少年离ON连线的最远距离为
故D错误。
故选BC。
12．（2024·全国·模拟预测）弹弓爱好者站在一斜坡的坡底练习射击目标，如图所示斜坡的倾角，弹丸的质量为，射出的初速度，速度的方向与斜坡成角斜向上，恰好击中斜坡上的目标（在斜坡表面）。为了击中目标，可以调节初速度和射击的方向，已知重力加速度取，弹丸位于斜坡底端正上方高度的位置，斜坡足够长。不计空气阻力，，，下列说法正确的是（ ）
A．弹丸击中斜坡上的目标的时间为
B．弹丸击中斜坡上的目标的时间为
C．弹丸在飞行的过程中距离斜坡的最远距离为
D．保持弹丸的初速度大小不变，调整弹丸射击的方向可使弹丸沿斜坡有最大位移
【答案】ACD
【知识点】斜抛运动
【详解】AB．建立平面直角坐标系如图所示
垂直于斜坡方向有
解得
故A正确，B错误；
C．当沿垂直斜坡方向的速度减到0时，弹丸离斜坡最远，利用逆向思维，结合上述可知，最远的距离
故C正确；
D． 当时，弹丸抛出速度方向竖直向上，弹丸会落在斜坡的底端，沿斜坡的位移为0，可知，当选择合适的角度时弹丸沿斜坡有最大位移，故D正确。
故选ACD。
13．（2024·全国·模拟预测）如图所示，水平地面上有一半径为5m的半球形曲面，球心A点正下方2m的P处有一喷泉沿水平方向喷出水流，设水流垂直落到半球形曲面上，喷口横截面积为，重力加速度，水的密度为，，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．水流初速度的大小为
B．任意相等时间内水流的速度变化量一定相等
C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为1m
D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为
【答案】BC
【知识点】平均功率与瞬时功率的计算、平抛运动位移的计算、平抛运动速度的计算
【详解】A．依题意，水流做平抛运动，设垂直落到半球形曲面上时速度与水平方向夹角为，如图所示
可得
由几何关系，可得
，
联立解得
，
故A错误；
B．根据
可知任意相等时间内水流的速度变化量一定相等，故B正确；
C．水流落到半球形曲面上的位置离地面高度为
故C正确；
D．水流喷出的过程中，喷泉装置对水流做功的功率为
又
联立解得
故D错误。
故选BC。
14．（2024·四川泸州·一模）如图所示，水平地面上有一个可以绕竖直轴匀速转动的圆锥筒，筒壁与水平面的夹角为，内壁有一个可视为质点的物块始终随圆锥筒一起做匀速圆周运动，物块受到的最大静摩擦力是正压力的0.6倍。当物块做圆周运动的半径为r，受到的摩擦力恰好为零时，角速度为。忽略空气阻力，取。则下列说法中正确的是（ ）
A．当r越大，则越大
B．当r越大，则越小
C．当时，最大角速度
D．当时，最大角速度
【答案】BC
【知识点】圆锥摆问题
【详解】AB．对物块受力分析，当摩擦力为零时，如图所示
根据牛顿第二定律，可得
可知当r越大，则越小。故A错误；B正确；
CD．当r为定值时，静摩擦力沿筒壁向下取最大静摩擦时，具有最大角速度，受力分析如图所示
由牛顿第二定律，可得
，
又
联立，解得
故C正确；D错误。
故选BC。
15．（2024·全国·模拟预测）如图所示，可视为质点的小球a的质量是小球b质量的倍，两小球用一刚性轻杆连接，置于固定的光滑半球内，轻杆长度为半球半径的倍，半球的直径水平。现将a球从半球右边最高点由静止释放（如图所示），已知两球在运动过程中均没有离开半球内表面，不计空气阻力，则小球a到达半球最低点前，下列说法正确的是（ ）
A．同一时刻两球的向心加速度大小相等
B．同一时刻a球重力的功率是b球重力功率的倍
C．当轻杆与水平方向成15°角时a球速度最大
D．当轻杆与水平方向成30°角时b球速度最大
【答案】AC
【知识点】用杆连接的系统机械能守恒问题、向心加速度的概念、公式与推导、平均功率与瞬时功率的计算
【详解】A．设半球半径为，则轻杆长度
可知任意时刻两球与半球球心O的连线与轻杆的夹角均为45°，两球的速度va、vb分别与两球所在位置的半径垂直，va、vb的方向与轻杆的夹角均为45°，同一时刻两球沿杆方向的分速度相等，即
故同一时刻两球的速度大小
由可知同一时刻两球的向心加速度大小相等，A正确；
B．重力的功率
同一时刻两球速度方向与竖直向下方向的夹角β不一定相等，故a球重力的功率不一定等于b球重力功率的倍，B错误；
CD．不计空气阻力，两球及轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒，设轻杆与水平方向的夹角为θ时a球所在位置的半径与水平方向的夹角为α，此时系统的总动能
整理可得
可知当时Ek最大，此时两球的速度同时达到最大，根据几何关系可得
C正确，D错误。
故选AC。
16．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，可视为质点、质量相等的A、B两球套在粗细均匀的光滑水平直杆上。分别用长度相等的两轻质细线，一端连接小球，另一端固定在竖直细杆上。现让整个装置绕竖直细杆匀速转动，下列判断正确的是（ ）
A．两细线上的拉力大小一定不等
B．两细线上的拉力大小一定相等
C．若A球不受杆的弹力，则B球也不受杆的弹力
D．若B球不受杆的弹力，则A球受到杆的弹力方向竖直向下
【答案】BD
【知识点】圆锥摆问题
【详解】AB．设细线长为L，细线与竖直方向的夹角为，细线的拉力为F，则
即
由此判断两细线上的拉力大小相等，A项错误、B项正确；
C．由于两球重力相等，两细线拉力大小相等，若A球不受杆的弹力，即A球上细线的竖直分力等于重力，则B球上细线拉力的竖直分力小于重力，则杆对B球的弹力方向竖直向上，C项错误；
D．若B球不受杆的弹力，即B球上细线的竖直分力等于重力，则A球上细线拉力的竖直分力大于重力，则杆对A球的弹力方向竖直向下，D项正确。
故选BD。
三、解答题
17．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的细圆管道固定在光滑水平地面上，管道由两部分组成，段是关于点对称的抛物线形态，两点处的切线水平。质量为的小球乙放置在光滑水平地面上，现让质量也为的小球甲从点由静止开始沿着管壁下滑，小球甲、乙发生碰撞生成的热量为，碰撞刚结束时，甲、乙的速度之比为，重力加速度取，求：
(1)小球甲到达点时的速度以及两点的高度差；
(2)若在点给小球甲一个水平向右的初速度，则甲在细圆管内从运动到，且与内壁间恰无作用力，求甲从到的运动时间以及点切线与水平方向夹角的正切值；
(3)接第（2）问点的倾角条件，甲再从点由静止开始沿着管壁下滑，求运动到点时重力的瞬时功率。
【答案】(1)，
(2)，1
(3)
【知识点】平均功率与瞬时功率的计算、速度偏转角与位移偏转角、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）设甲从点由静止开始沿着管壁下滑，运动到点时速度为，碰撞刚结束时甲、乙的速度分别为、，由动量守恒可得
由能量守恒可得
联立解得
设两点的高度差为，甲从点由静止开始沿着管壁下滑运动到点，由机械能守恒定律可得
解得
（2）当在点给甲一个水平向右的初速度，则甲从到做平抛运动，则有
解得
设轨道在点的切线与水平方向的夹角为，由平抛运动的规律可得
可得
（3）甲从点由静止开始沿着管壁下滑，运动到点，由机械能守恒定律可得
甲在b点重力的瞬时功率为
联立解得
18．（2024·贵州六盘水·模拟预测）用两根铁丝制作成如图所示的凹凸桥，凹桥最低点A距离地面的竖直高度。让质量为m的小球从距离A点高处由静止释放，小球经过A点时轨迹视为半径的圆，受到轨道的支持力，小球恰能撑开轨道水平飞出。忽略球与轨道的摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g取。求：
(1)小球过A点的速度v和的大小；
(2)小球做平抛运动的水平射程x。
【答案】(1)2m/s，0.2m
(2)0.4m
【知识点】通过牛顿第二定律求解向心力、平抛运动位移的计算、用动能定理求解外力做功和初末速度
【详解】（1）小球过A点时，根据牛顿第二定律有
解得
小球下滑至A点过程，根据动能定理有
结合上述解得
（2）小球做平抛运动，则有
，
解得
19．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，ABC是半径为R的光滑圆弧形轮滑赛道，A点与圆心O等高，B为最低点（位于水平地面上），圆弧BC所对的圆心角为60°。轮滑运动员从A点以一定的初速度沿圆弧面滑下，从C点滑出后，运动员上升到的最高点与O点在同一水平面上，此后运动员恰好落到平台上的D点，D点距水平地面的高为。已知运动员和轮滑鞋的总质量为m，重力加速度大小为g，运动员和轮滑鞋整体视为质点，不计空气阻力。求：
(1)运动员从C点滑出时的速度大小；
(2)运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力；
(3)平台D点离圆弧轨道C点的水平距离。
【答案】(1)
(2)，方向竖直向下
(3)
【知识点】通过牛顿第二定律求解向心力、机械能与曲线运动结合问题、斜抛运动
【详解】（1）设运动员从C点滑出的速度大小为vC，运动员从C点滑出后，竖直上升的高度
竖直方向分运动
解得
（2）设运动员到B点时速度大小为vB，从B到C，根据机械能守恒
在B点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律，运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力大小
方向竖直向下
（3）运动员从C点滑出后，上升的过程有
设下降的时间为t2，则
则D点与C点的水平距离
20．（2024·湖北·模拟预测）如图所示为固定在竖直平面内半径为R = 1 m的半圆形粗糙轨道，A为最低点，B为圆心等高处，C为最高点。一质量为m = 1 kg的遥控小车（可视为质点）从A点水平向右以v0 = 8 m/s无动力进入轨道，上升高度为H = 1.8 m时脱离轨道，重力加速度g = 10 m/s2，不计空气阻力。求：（可保留根号或π的形式，或对应结果保留1位小数）
(1)小车脱离轨道时的速度大小；
(2)小车从A至脱离过程克服摩擦力所做的功；
(3)开启动力后，小车以v0 = 8 m/s匀速率沿着轨道运动，若小车所受的摩擦阻力为小车对轨道压力的k = 0.25倍，求小车从A到C过程中电动机做的功。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】应用动能定理解多段过程问题、绳球类模型及其临界条件、常见力做功与相应的能量转化、机械能与曲线运动结合问题
【详解】（1）设小车脱离轨道时的速度大小为v，脱离时位置跟圆轨道圆心连线与水平面夹角为θ，有
根据牛顿第二定律有
解得
（2）小车从A点至脱离过程，根据动能定理有
解得
（3）取关于水平半径对称的上下两端极短圆弧，该位置与圆心连线与水平夹角设为α，
在下端，根据牛顿第二定律有
在上端，根据牛顿第二定律有
则
根据题意有
根据做功公式有
根据动能定理有
解得
考点分析
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情景图示
定量结论
v＝v物cs θ
v物′＝v∥＝v物cs θ
v∥＝v∥′
即v物cs θ＝v物′cs α
v∥＝v∥′
即v物cs α＝v物′cs β
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图

F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
临界特征
F弹＝0
mg＝meq \f(vmin2,R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥eq \r(gR)，F弹＋mg＝meq \f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v