第四章曲线运动第二十三课时圆周运动的临界极值问题2025高考物理二轮专题

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题型一　水平面内圆周运动的临界极值问题
【典例1】　如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着 用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与 圆心距离分别为2r和3r，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩 擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转 盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一 过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的大小关系图像如图乙所示，下列 关系式正确的是（　　）
1. 【发生相对滑动时的临界问题】（多选）2022年2月7日，在首都体育馆举行的北京2022年冬奥会短 道速滑项目男子1 000米决赛中，我国选手任子威夺得冠军。如图1 所示为短道速滑比赛场地的示意图（由直道和半圆形轨道构成）， 比赛场地周长约为111.12 m，其中直道长度为28.85 m，弯道内径为 8 m。如图2所示为运动员转弯瞬间的一幕。假设该比赛场地的冰面 水平，运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀 与冰面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动 员的质量为50 kg，运动员可看作质点，重力加速度g取10 m/s2。下 列说法正确的是（　　）
2. 【物体间恰好分离的临界问题】（多选）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则（　　）
3. 【绳的弹力恰好有无的临界问题】如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长L＝2 m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10 m/s2）（　　）
题型二　竖直面内圆周运动的临界极值问题1. 两类模型
考向1　轻“绳”模型问题【典例2】　如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　）
【典例3】　如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（　　）
题型三　斜面上圆周运动的临界极值问题1. 题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同， 如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的 规律也不相同。2. 解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的 分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操 作，把问题简化。
解析：由题意知临界条件为物体在圆盘最低点受到的摩擦力为最大 静摩擦力，根据牛顿第二定律有，μmgcs 30°－mgsin 30 °＝mrω2， 解得ω＝1.0 rad/s，C正确，A、B、D错误。
如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m 的轻 杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做 圆周运动。g取10 m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B 的最小速度是（　　）
巧学 妙解 应用
2. 有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有 一长为l的细绳系有质量为m的小球。要使小球在随 转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，重力加 速度为g，则A点到水平面的高度h最大为（　　）
题型二　竖直平面内圆周运动的临界极值问题3. （多选）滚筒洗衣机静止于水平地面上，衣物随着滚筒一起在竖直 平面内做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果，滚筒截面如图所 示，A点为最高点，B点为最低点，CD为水平方向的直径，下列说 法正确的有（　　）
在衣物运动中，衣物运动到C点或D点时，洗衣机对衣物的水平作用 力提供衣物做圆周运动需要的向心力，可知此时衣物对洗衣机在水平 方向作用力最大，而洗衣机是静止的，可知地面对其的摩擦力最大， 根据牛顿第三定律可知，衣物运动到C点或D点时洗衣机对地面的摩 擦力最大，故C正确。
4. 如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球（可视为质点），用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是（　　）
5. （多选）如图甲所示，某体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身 体，以单杠为轴做圆周运动。该运动员运动到最高点时，用力传感 器测得他与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的 速度大小为v，得到F-v2图像如图乙所示。g取10 m/s2，则下列说法 中正确的是（　　）
题型三　斜面上圆周运动的临界极值问题6. 如图，有一倾斜的匀质圆盘（半径足够大），盘面与水平面的夹角 为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体 （可视为质点）与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于 滑动摩擦力），重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对 静止，则物体与转轴间最大距离为（　　）
7. 如图所示，长为l的轻杆两端各固定一个质量均为m的小球a、b，系 统置于倾角为θ的光滑斜面上，且杆可绕位于中点O的转轴平行于斜 面转动，当小球a位于最低点时给系统一初始角速度ω0，不计一切 阻力，则（　　）
解析：　由题意可知，在转动过程中，系统的重力势能不变，那 么当系统有初始角速度时，系统的动能也不变，因此系统始终匀速 转动，故A、B错误；选两球及杆作为系统，根据牛顿第二定律有F －2mgsin θ＝man＋m（－an），解得F＝2mgsin θ，而轻杆受到转轴 的力的方向始终沿着斜面向上，故C正确，D错误。
8. 如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以 角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B 和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别 为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为 质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
9. 如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5 m的圆盘， 圆盘可绕中心轴转动，餐桌其余部分不转动，近似 认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙 可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘 的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐 桌离地高度为h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩 擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。
（1）为使小物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？
答案：2 rad/s　
（2）缓慢增大圆盘的角速度，小物体从圆盘上甩出，为使小物体 不滑落到地面，餐桌半径R的最小值为多大？
10. 如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固 定着小球A和B（均可视为质点），A球质量为m， B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面 内绕O轴做圆周运动。（1）若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度 大小；
（2）若B球到最高点时的速度等于第（1）问中的速度，求此时O 轴的受力大小和方向；
答案：2mg，方向竖直向下
（3）在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情 况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速 度大小。