新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-提高班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第9讲圆的计算-提高班(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 弧长的计算
弧长公式:半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例题精选】
例1(2023•宁波模拟）挂钟的分针长10cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（ ）
A．cmB．15πcmC．cmD．75πcm
【随堂练习】
1．(2023•乐清市一模）若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（ ）
A．50°B．60°C．100°D．120°
2．(2023•海曙区模拟）如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，∠A＝24°，则的长为（ ）
A．9πB．10πC．11πD．12π
2扇形面积的计算
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【例题精选】
例1(2023•铁岭一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至△A′B′C′的位置，则边BA扫过的面积是（ ）
A．B．C．D．
例2(2023•花都区一模）扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（ ）
A．12cmB．24cmC．28cmD．30cm
【随堂练习】
1．(2023•玉田县一模）三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．π
2．(2023•富宁县模拟）如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（ ）
A．5πB．12.5πC．20πD．25π
3圆锥的计算
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【例题精选】
例1(2023•张家港市模拟）如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面的半径长为3m，母线长为6m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元钱，那么购买油毡所需要的费用是（ ）
A．540π元B．360π元C．180π元D．90π元
例2(2023•长沙模拟）若圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的全面积为（ ）
A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm2
【随堂练习】
1．(2023•慈溪市模拟）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD＝4，AB＝7，AB⊥BC，CD⊥BC．把四边形ABCD绕AB旋转一周，则该几何体的表面积为（ ）
A．48πB．56πC．68πD．72π
2．(2023•南通二模）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 cm2B．10πcm2C．8 cm2D．8πcm2
3．(2023•西山区一模）圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为20π，扇形的圆心角为120°，则圆锥的全面积为（ ）
A．400πB．500πC．600πD．700π
4．(2023•温岭市一模）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，则上下两圆锥的侧面积之比为（ ）
A．1：2B．1：C．2：3D．1：
综合应用
一．选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
二．解答题
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．
第9讲与圆有关的计算
1 弧长的计算
弧长公式:半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【例题精选】
例1(2023•宁波模拟）挂钟的分针长10cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（ ）
A．cmB．15πcmC．cmD．75πcm
分析：先求出经过45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l＝，求得弧长
【解答】解：∵分针经过60分钟，转过360°，
∴经过45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l＝＝＝15π（cm）．
故选：B．
【点评】主要考查了圆周的弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系．弧长公式为l＝，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为6°
【随堂练习】
1．(2023•乐清市一模）若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（ ）
A．50°B．60°C．100°D．120°
【解答】解：∵扇形的弧长，
∴5π＝，
∴n＝50，
∴该扇形的圆心角是50°．
故选：A．
2．(2023•海曙区模拟）如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，∠A＝24°，则的长为（ ）
A．9πB．10πC．11πD．12π
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝24°，
∴∠AOC＝180°﹣24°×2＝132°，
∴的长＝＝11π，
故选：C．
2扇形面积的计算
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【例题精选】
例1(2023•铁岭一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至△A′B′C′的位置，则边BA扫过的面积是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据题意，可以得到AB的长，然后根据扇形面积公式，即可得到边BA扫过的面积．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，
∵△ABC绕点B逆时针旋转120°至△A′B′C′的位置，
∴边BA扫过的面积是：＝，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的面积公式解答．
例2(2023•花都区一模）扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（ ）
A．12cmB．24cmC．28cmD．30cm
分析：根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形＝lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
【解答】解：∵S扇形＝lr，
∴120π＝•10π•r，
∴r＝24（cm）；
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形＝lr．
【随堂练习】
1．(2023•玉田县一模）三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【解答】解：连接OC，
由勾股定理得：OC＝＝，
由正方形的性质得：∠EOB＝45°，
所以扇形EOF的面积为：＝π，
故选：A．
2．(2023•富宁县模拟）如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（ ）
A．5πB．12.5πC．20πD．25π
【解答】解：∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵半径为10，
∴扇形AOB的面积为：＝25π，
故选：D．
3圆锥的计算
圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，
圆锥的全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【例题精选】
例1(2023•张家港市模拟）如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面的半径长为3m，母线长为6m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元钱，那么购买油毡所需要的费用是（ ）
A．540π元B．360π元C．180π元D．90π元
分析：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．算出侧面积后乘以单价即可．
【解答】解：底面半径为3m，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×6＝18π（m2）．
所需要的费用＝18π×10＝180π（元），
故选：C．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是熟练掌握公式并正确的运用，难度不大．
例2(2023•长沙模拟）若圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的全面积为（ ）
A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm2
分析：根据勾股定理求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的底面半径＝＝3，
∴圆锥的全面积＝π×32+×2π×3×5＝24π（cm2）
故选：C．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•慈溪市模拟）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD＝4，AB＝7，AB⊥BC，CD⊥BC．把四边形ABCD绕AB旋转一周，则该几何体的表面积为（ ）
A．48πB．56πC．68πD．72π
【解答】解：作DE⊥AB于点E，
把四边形ABCD绕直线AB旋转一周形成一个下面是圆柱，上面是圆锥的几何图形，
圆柱的高CD＝4，底面半径BC＝4，圆锥的母线长AD＝＝＝5，
∴该几何体的表面积为πRl+2πRh+πR2＝π×4×5+2π×4×4+π×16＝68π，
故选：C．
2．(2023•南通二模）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 cm2B．10πcm2C．8 cm2D．8πcm2
【解答】解：底面圆的半径为2cm，则底面周长＝4πcm，侧面面积＝×4π×4＝8π（cm2）．
故选：D．
3．(2023•西山区一模）圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为20π，扇形的圆心角为120°，则圆锥的全面积为（ ）
A．400πB．500πC．600πD．700π
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
根据题意得2πr＝20π，解得r＝10，
20π＝，解得l＝30，
所以圆锥的全面积＝π×102+×20π×30＝400π．
故选：A．
4．(2023•温岭市一模）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，则上下两圆锥的侧面积之比为（ ）
A．1：2B．1：C．2：3D．1：
【解答】解：设BD＝2r，
∵AB＝AD，∠A＝90°，
∴AB＝r，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
∴BC＝BD＝2r，
∴上下两圆锥的侧面积之比＝（×2πr×r）：（×2πr×2r）＝1：．
故选：D．
综合应用
一．选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径长为3，则该扇形的面积为（ ）
A．2πB．3πC．6πD．12π
【解答】解：S扇形＝＝3π，
故选：B．
2．已知一个圆锥的底面半径为5cm，高为cm，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．5πcm2B．30πcm2C．55πcm2D．85πcm2
【解答】解：底面周长是2×5π＝10πcm，底面积是：52π＝25πcm2．
母线长是：＝6（cm），
则圆锥的侧面积是：×10π×6＝30π（cm2），
则圆锥的表面积为25π+30π＝55π（cm2）．
故选：C．
3．若一个圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．6cm
【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，
那么圆锥底面圆周长为2πrcm，
所以侧面展开图的弧长为2πrcm，
S圆锥侧面积＝×2πr×6＝，
解得：r＝3，
故选：C．
4．在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：120°的圆心角所对的弧长＝＝．
故选：A．
二．解答题
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接CF，
则阴影部分的面积＝S△BCF+S扇形CGF﹣S△CGF＝ab+πb2﹣b2＝．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点．
（1）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积；
（2）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝+×2×4＝π+4；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
7．如图，图中圆O的周长为8π，OA＝OB＝OD，AC＝OC＝BC，角AOD为45度，求图中阴影部分（即扇形AOD）的面积．（结果保留π）
【解答】解：设圆O的半径为r
由题意：2•π•r＝8π，
∴r＝4，
∵S△AOB＝•OA•OB＝•AB•OC，
∴OA2＝8×4＝32，
∴S扇形OAD＝＝4π．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝（垂径定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S阴＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圆周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝＝，即阴影部分的面积为．