四川省广安第二中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 在中，角所对边分别为，且，（ ）
A. B. 或C. D. 或
4. 如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A. B. C. D.
5. 在矩形中，，，为线段中点，为线段上靠近的四等分点，则的值为（ ）
A. 4B. 8C. D. 5
6. 在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
A. 正四棱锥的底面边长为48m
B. 正四棱锥的高为4m
C. 正四棱锥的体积为
D. 正四棱锥的侧面积为
8. 已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（ ）
A 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D 若，则
10. ，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C 若，，则
D. 若，，则
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 线段上存在点，使平面平面
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若一个圆锥的母线长为，且底面面积为，则此圆锥的高为___________．
13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边的值是_________.
14. 已知为球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为，若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
（1）用，表示；
（2）若，，求的最小值.
16. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和对称轴．
（2）设函数，若在上恰有2个不同的零点，
①求的取值范围；
②求的值．
17. 如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证：
（1）平面；
（2）
18. 如图正方体的棱长为2，是线段的中点，平面过点.
（1）画出平面截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；
（2）求（1）中截面多边形的面积；
（3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为费马点，，求实数的最小值.