2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷（十）

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷（十），共14页。试卷主要包含了8，S乙2=3，6；等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．−12024的绝对值是（ ）
A．−2024B．2024C．−12024D．12024
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．2a−a=aB．3a+b=3ab
C．2a÷−a=aD．2a⋅a=3a2
3．2024年5月1日我国第三艘航母福建舰出海开展首次航行试验，福建舰航母造价达到49800000000 元，数据49800000000可以用科学记数法表示为（ ）
A．4.98×108B．4.98×109C．4.98×1010D．4.98×1011
4．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：S甲2=0.8，S乙2=3.6，S丙2=5，S丁2=2.5，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．若一次函数y=3x+5的图象平移后经过原点，下列平移方式正确的是（ ）
A．向左平移5个单位B．向右平移5个单位
C．向下平移5个单位D．向上平移5个单位
6．下列立体图形中，其主视图和左视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°．按以下步骤作图:①以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边AB,AC于点M,N；②分别以点M和点N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧,两弧在△ABC内交于点P；③作射线AP交边BC于点Q．若CQ=5,AB=20,则△ABQ的面积是（ ）

A．100B．50C．25D．20
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（ ）

A．1.2B．2.5C．1.5D．2.4
9．如图，点O在三角板的斜边上，OC=1，以OC为半径作圆O，交斜边于另一点D，其中∠C为30°．则sin∠AOD的值是（ ）
A．12B．22C．32D．1
10．一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（ ）
A．12种B．13种C．14种D．15种
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：2a3−8a= ．
12．若分式15−x=22−3x，则x= ．
13．如图，过反比例函数y=kxx>0的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，C是y轴上的一点，连接CB，CA，若S△ACB=4，则k的值为 ．
14．如图，已知直线a∥b，将一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若∠1=40°，则∠2的度数是 °．
15．如图所示的是一个电路图，当随机闭合开关K1，K2,，K3中的两个时，小灯泡⊗发光的概率为 ．
16．如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以O为圆心，OA1为半径作扇形OA1C1，弧A1C1与OB1相交于点B2，设A1C1，A1B1，B1C1围成阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2C2，弧A2C2与OB1相交于点B3，设A2C2，A2B2与B2C2围成阴影部分面积为S2；按此规律继续作下去，设A2024C2024，A2024B2024，B2024C2024围成阴影部分面积为S2024，则S2024= ．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：13−1+|−2|−38
18．先化简，再求值：x−12+x4−x，其中x=−14．
19．如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cs58°≈0.530，tan58°≈1.6）
20．我省某企业生产甲、乙两款祁门红茶，为了解两款红茶的质量，分别请消费者和专业机构进行测评．随机抽取n名消费者同时对两款红茶评分 ，并将所得数据进行分组整理和分析，下面给出了甲款红茶分数的频数分布直方图和频数分布扇形图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)n的值为 ，甲款红茶分数频数分布扇形图中a的值为 ，
(2)补全甲款红茶分数频数分布直方图；
(3)这n名消费者对甲款红茶评分的平均分为86分，对乙款红茶评分的平均分为88分，专业机构对甲款红茶的评分为91分，对乙款红茶的评分为89分，若将消费者评分的平均数和专业机构的评分按照4:6的比例确定最终成绩，那么哪款红茶的最终成绩更高？请通过计算说明理由．
21．如图，在△ABC中，∠BAC=110°，点D是边BC的中点，点F为△ABC外一点，FD的延长线交AC于点E，已知AC∥BF，DF=5．
(1)求DE的长；
(2)若DB平分∠ABF，求∠C的度数．
22．云冈石窟是我国最大的石窟之一，1961年被国务院公布为全国首批重点文物保护单位．云冈石窟旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．若购买1作A款纪念品和3件B款纪念品共花费190元，购买3件A款纪念品和2件B款纪念品共花费290元．
(1)求A，B两款纪念品的单价．
(2)某游客决定购买A，B两款纪念品共10件，且购买A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，应如何购买才能使所花费用最低，最低费用为多少元？
23．如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径的圆交边BC于点E，交对角线AC于点F，G是边CD上的一点，连接AG，且BE=DG．

(1)请在以下三个条件中任选一个：________，证明：直线AG是圆M的切线．
①∠AGD=∠ACB：②F是弧AE的中点：③E是BC的中点．
(2)在第（1）问的条件下，若直径为4，连接BF并延长交AG于点N，AN=3，求四边形ABCD的面积．
24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG交DC于点F，CF=BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P、Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
(1)求证：CG=AB．
(2)若AD=6，∠E=60°，求扇形ADM的面积．
(3)延长DC交⊙D于点H，且CH=NG，记AB=x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
25．如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线l是抛物线的对称轴，AB⊥l于点 D，AB=CD，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，CD的长为“正抛线”的高．
(1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式；
(2)已知抛物线 y=ax²+bx(a<0)上的“正抛线”以原点为左端点，求b；
(3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比．
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．2aa+2a−2 12．−8 13．8
14．140 15．23 16．122023−122025π
三、解答题
17．【详解】解：13−1+|−2|−38
=3+2−2
=3．
18．【详解】解：x−12+x4−x，
=x2−2x+1+4x−x2，
=2x+1，
把x=−14代入，原式=2×(−14)+1=12．
19．【详解】解：过点A作AD⊥BC，由题意，得：∠ABC=90°−58°=32°，∠ACD=45°，BC=8，
设AD=x，在Rt△ADC中，∠ACD=45°，
∴AD=CD=x，
∴BD=x+8，
在Rt△ADB中，tan∠ABD=ADBD=xx+8≈0.625，
∴x≈13，
∴AD≈13，
∵13>12，∴渔船没有触礁的危险．
20．【详解】（1）解：n=4÷8%=50，a%=850×100%=16%，
∴a=16；
（2）E组人数为50×16%=8，D组人数：50−4−2−10−8−8=18；
补全直方图如图：
（3）甲：86×4+91×64+6=89（分）；乙：88×4+89×64+6=88.6（分）；
∴甲款红茶最终成绩更高．
21．【详解】（1）解：因为AC∥BF，
所以∠C=∠FBD，∠F=∠CED．
因为点D是BC的中点，
所以CD=BD．
在△CDE和△BDF中，
因为∠CED=∠F，∠C=∠FBD，CD=BD，
所以△CDE≌△BDF，
所以DE=DF，
因为DF=5，
所以DE=5；
（2）解：因为AC∥BF，
所以∠BAC+∠ABF=180°，∠C=∠FBD，
因为∠BAC=110°，
所以∠ABF=180°−110°=70°，
因为DB平分∠ABF，
所以∠C=∠FBD=12∠ABF=35°．
22．【详解】（1）解：设A，B两款纪念品的单价分别为x元，y元，
由题意知x+3y=1903x+2y=290，解得x=70y=40，
即A，B两款纪念品的单价分别为70元，40元．
（2）解：设购买A款纪念品件m件，则购买B款纪念品10−m件，设总费用为W元，
则W=70m+4010−m=30m+400，
∵ 30>0，
∴W随m的增大而增大，
∵购买A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，
∴ m≥10−m2，
解得m≥103，
∵m为正整数，
∴m的最小值为4，
当m=4时，W=30×4+400=520（元），
10−4=6（件），
即购买4件A款纪念品，6件B款纪念品时所花费用最低，最低费用为520元．
23．【详解】（1）解：选择②，
证明：连接AE,BF，
∵F是弧AE的中点，
∴∠ABF=∠CBF，
∵AB为直径，
∴∠AFB=∠AEB=∠BFC=∠AEC=90°，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBFASA
∴AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，AB∥CD
∴BC=CD， ∠BAF=∠ACG，
∵BE=DG．
∴CE=CG，
∴∠BAF+∠ABF=∠CBF+∠ACE=90°，
∴∠BAF=∠ACE，
∴∠ACG=∠ACE，
又∵AC=AC
∴△ACE≌△ACGSAS，
∴∠AGC=∠AEC=90°
∵AB∥CD
∴∠BAG=180°−∠AGC=90°
∴AB⊥AG
∵AB为直径，
∴直线AG是圆M的切线．
（2）如图，由勾股定理得到BN=AB2+AN2=5，
∵S△ABN=12AF⋅BN=12AB⋅AN
∴AF=AB⋅ANBN=125
∴BF=AB2−AF2=165
∵AB=BC，
∴AC=2AF=245
∴S△ABC=12AC⋅BF=12×245×165=19225，
∴四边形ABCD的面积为2S△ABC=19225×2=38425．
24．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠FCG=90°，
∵AG⊥AE，
∴∠EAG=90°，
∴∠BAG+∠G=∠BAG+∠BAE=90°，
∴∠G=∠BAE，
∵CF=BE，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴CG=AB；
（2）解：∵∠DAB=∠EAG=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
∵Rt△ABE中， ∠E=60°，
∴∠BAE=30°，
∴∠DAF=30°，
∴AD=DM=6，
∴∠DAF=∠DMA=30°，
∴∠ADM=120°，
∴S扇形ADM=120π×62360=12π；
（3）解：∵△ABE≌△GCF，
∴S△ABE=S△GCF，AB=CG=x，
∴S=S△ABG，
∵AD=DM，
∴∠DAM=∠DMA，
∵AD∥CE，
∴∠G=∠DAM，
∵∠NMG=∠AMD，
∴∠G=∠NMG，
∴MN=NG，
设CH=NG=MN=y，
∵AB=CD=CG=x，
∴CN=x−y，DH=AD=BC=DM=x+y，DN=DM+MN=x+2y，
∵DC2+CN2=DN2，
∴x2+x−y2=x+2y2，
∴y1=−1+233x，y2=−1−233x（舍），
∴S=12AB⋅BG=12xx−x+233x+x=121+233x2=3+236x2．
25．【详解】（1）根据题意，得左端点A0,0，AB=CD=4，右端点B4,0，垂足点D2,0，顶点C2,4或C2,−4，
设抛物线解析式为y=a1x−22+4或y=a2x−22−4，把A0,0分别代入解析式，∴0=4a1+4或0=4a2−4，
解得a1=−1或a2=1，
故抛物线解析式为y=−x−22+4=−x2+4x或y=x−22−4=x2−4x．
（2）根据题意，得ax2+bx=0，
解得x1=0,x2=−ba，
∵抛物线以原点为左端点，
∴左端点A0,0，AB=CD=−ba，右端点B−ba,0，垂足点D−b2a,0，
∵抛物线a<0，
∴顶点C−b2a,−ba，
设抛物线解析式为y=ax+b2a2−ba，
把点A0,0代入y=ax+b2a2−ba，得b24a−ba=0，
整理，得b2−4b=0，
解得b=4,b=0（舍去），
故b=4．
（3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G，
根据题意，设左端点Am,0m<0，右端点B0,0，AB=CD=−m垂足点Dm2,0，
∵抛物线a<0，
∴顶点Cm2,−m，
设抛物线解析式为y=ax−m22−m，
把点B0,0代入y=ax−m22−m，
得m24a−m=0，
解得a=4m，
∴抛物线解析式为y=4mx−m22−m=4mx2−4x，
设Ep,4mp2−4p，则F−p,4mp2−4p，
则EF=−p−p=−2p，GH=−m−4mp2+4p，
∴−2p=−m−4mp2+4p
整理，得4p2−6mp+m2=0，
解得p=6m±25m8，
故p=3−54m或p=3+54m，
∴mp=43−5=3+5或mp=43+5=3−5，
∴ABEF=−m−2p=12×mp=3+52或ABEF=−m−2p=12×mp=3−52．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
A
C
A
C
A
B
D
C
C