2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷（七）

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷（七），共13页。试卷主要包含了45×106B．0等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．13B．2πC．−2D．1.5
2．第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年举行，下列图形是本届奥运会运动项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6B．a3⋅a3=a9C．a32=a6D．a3−a3=a
4．2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为50450000万元，将数50450000用科学记数法表示为（ ）
A．50.45×106B．0.5045×108C．5.045×107D．5.045×106
5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1=123°，则∠2的度数为（ ）
A．33°B．57°C．67°D．77°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE=2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（ ）
A．11cmB．13cmC．15cmD．17cm
7．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA于点F，PE⊥OB于点E，若PE=8，则PF长（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．如图，D，E分别是AC，BC的中点，测得DE=15m，则池塘两端A，B的距离为（ ）
A．45mB．30mC．22.5mD．7.5m
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．16B．8C．4D．2
10．古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是中国传统文化的重要组成部分．某校准备从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）作为本学期的经典诵读读本，则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是（ ）
A．12B．13C．16D．18
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2−4= ．
12．方程1x=23x−1的解为 ．
13．将一次函数 y=2x+1的图象向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为 ．
14．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 cm．
第14题图 第15题图 第16题图
15．某节活动课上，安安用一张半径为18cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为10cm，则这张扇形纸板的面积为 cm²．
16．如图所示为中国行政区划地图中某五个行政区域的示意图，现对图中A、B、C、D、E这五个部分用四种不同的颜色染色，相邻的部分不能用相同的颜色，不相邻的部分可以用相同的颜色，则不同的染色方法共有 种．

三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：12−2sin60°+(3−1)0−12−1
18．先化简，再求值：x（x+1）+（x+1）（x﹣1）﹣x，其中x＝3．
19．某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下：
请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度AB．
20．我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x≤42，B：421班E等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49
2班D等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．
1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
(1)根据以上信息可以求出：a= ，b= ，c= ；
(2)你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
(3)若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生有多少人？
21．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上．
(1)用圆规和直尺在图中作出角平分线AD．（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)若∠C=80°，∠B=40°，求∠ADB的度数．
22．“粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元．
(1)求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元；
(2)若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台．
23．四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E是AD上的一动点，连接AE，BE，DE，其中BE交AD于点F．
(1)如1图，当AB=ED时，
①求证：△AEB≌△EAD；
②若∠EAD=30°，连接BO，EO．求证：四边形ABOE是菱形．
(2)如2图，若BC=2AB=2，EFFB=k，请用含k的式子表示EA⋅ED的值．
24．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点 E与正方形ABCD的顶点 A 重合，三角扳的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
(1)求证： EF=EG；
(2)如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
(3)如图3， 将（2） 中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 AB=2，BC=4，求 EFEG的值．
25．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点1,1是函数y=23x+13的图像的“等值点”．
(1)请判断函数y=x2−3x的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数y=x2x>0，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为1时，求b的值；
(3)已知函数y1=x2−2tx+3（t为常数）有两个“等值点”．存在函数y2（异于y1），若对于任意的自变量x，都有点x,y1与点x,y2到点x,x的距离相等；当t≤x≤t+1时，都有y2>y1成立，请结合图像求t的取值范围．
活动目的
测量居民楼的高度
测量工具
皮尺、测角仪
测量示意图及说明

说明：测量仪CD⊥BE、居民棱AB⊥BE．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内
测量过程及数据
测量小组在距离居民楼36m（BE=36m）处的斜坡EF上的点D处放置测角仪CD，测得居民楼楼顶A的仰角为37°，斜坡EF的坡度i=3:4，DE=5m，CD=1.5m
参考数据
sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75
备注
测量过程注意安全
平均数
中位数
众数
1班
47.5
48.5
c
2班
47.5
b
49
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．(x+2)(x−2) 12．x=1 13．y=2x−1
14．8 15．180π 16．96
三、解答题
17．【详解】解：原式=23−2×32+1−2
=23−3+1−2
=3−1．
18．【详解】解：x（x+1）+（x+1）（x﹣1）﹣x
＝x2+x+x2﹣1﹣x
＝2x2﹣1，
当x＝3时，原式＝2×（3）2﹣1＝2×3﹣1＝5．
19．【详解】解：延长CD交BE的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H． 则四边形BGCH是矩形， ∴ BG=CH，CG=BH．
∵DE=5m，坡度i=DGEG=34，
∴DG=3m，EG=4m，
∴ BH=CG=CD+DG=4.5m．
∵ BE=36m，
∴ CH=BG=BE+EG=40m．
在Rt△ACH中，tan∠ACH=AHCH，
即tan37°=AHCH≈0.75
∴ AH40≈0.75，则AH≈30m，
∴ AB=AH+BH=30+4.5=34.5m，
∴该居民楼的高度AB为34.5m．
20．【详解】（1）解：由题意得，a%=1−5%−5%−15%−45%=30%，故a=30；
把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数b=48+482=48；
1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，故众数c=50．
故答案为：30，48，50；
（2）解：1班的学生知识竞答成绩较好，理由如下：
因为两个班的平均数相同，但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，所以1班的学生知识竞答成绩较好；
（3）解：1020+45%÷2=47.5%，
800×47.5%=380（人)，
答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．
21．【详解】（1）解：如图，AD即为所求．
（2）解：∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∴∠ADB=180°−∠BAD−∠B=110°．
22．【详解】（1）解：设购进1台甲种农耕设备需x万元，1台乙种农耕设备需y万元，
根据题意得：2x+y=4.2x+3y=5.1，解得：x=1.5y=1.2．
答：购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元；
（2）解：设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备7−m台，
根据题意得：1.5m+1.27−m≤10，
解得：m≤513，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为5．
答：最多可以购进甲种农耕设备5台．
23．【详解】（1）①证明：∵AE=AE，
∴∠ABE=∠EDA，
∵AB=ED，
∴AB=ED，
∴∠AEB=∠EAD，
在△AEB和△AED中，
∠AEB=∠EAD∠ABE=∠EDAAB=ED
∴△AEB≌△AED（AAS）
②证明：如图1，连接AO、BO、EO，
∵四边形ABCD是矩形，∠EAD=30°，
∴∠BAD=90°，∠AEB=∠EAD=30°，
∴∠ABE=180°−∠AEB−∠BAE=30°，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE
∵∠ABE=30°
∴∠AOE=60°
∵OA=OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE=EO
∴AB=AE=EO=BO
∴四边形ABOE是菱形
（2）证明：如图2，连接BD，过点E作EH⊥AD于点H，
∵∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BED=90°，
在Rt△BED中，sin∠EBD=EDBD，
在Rt△AEH中，sin∠EAH=EHAE，
∵ED=ED，
∴∠EBD=∠EAH，
∴EDBD=EHEA，即EA⋅ED=EH⋅BD
∵BC=2AB=2，
∴BC=2，AB=1，BD=BC2+CD2=5，
∴EA⋅ED=EH⋅BD=5EH，
∵∠BAF=∠EHF=90°，∠AFB=∠HFE，
∴△EHF∽△BAF，
∴EHAB=EFFB=k，
∴EH=k
∴EA⋅ED=5k
24．【详解】（1）证明：正方形ABCD中，
ED=EB，∠BED=∠D=∠EBC=90°
∵∠GEF=90°
∴∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，
∠DEF=∠GEBED=EB∠D=∠EBG，
∴△FED≌△GEBASA，
∴EF=EG；
（2）解：成立．证明：
如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，∠EPF=∠EHG=90°
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴Rt△FEP≌Rt△GEH，
∴EF=EG；
（3）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴ NEAD=CECA，EMAB=CECA，
∴ NEAD=EMAB，即ENEM=ADAB=CBAB=42=2，
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴ EFEG=ENEM，
∴ EFEG=2．
25．【详解】（1）解：在y=x2−3x中，令x=x2−3x，
解得：x1=0，x2=4，
∴函数y=x2−3x的图像上有两个“等值点”，坐标为0,0或4,4．
（2）在函数y=x2x>0中，令x=x2，
解得：x=1或x=0（不符合题意，舍去）
∴A1,1，
在函数y=−x+b中，令x=−x+b，
解得：x=b2，
∴B12b,12b，
∵BC⊥x轴，
∴C12b,0，
∵△ABC的面积为1，
∴12×12b×1−12b=1，
整理，得：b2−2b=8，
当b2−2b=8时，解得：b1=−2，b2=4，
当b2−2b=−8时，即b2−2b+8=0，
∵Δ=−22−4×1×8=−28<0，
∴方程b2−2b+8=0没有实数根，
综上所述，b的值为−2或4．
（3）设Bx,y1，Ax,y2，设函数y1=x2−2tx+3的顶点为P，
∵函数y1=x2−2tx+3（t为常数）有两个“等值点”，
∴令x=x2−2tx+3，即x2−2t+1x+3=0，
∴Δ=−2t+12−4×1×3>0，
解得：t<−1−232或t>−1+232，
由函数y1=x2−2tx+3知：图像开口向上，对称轴为直线x=t，顶点Pt,−t2+3，且图像恒过点0,3，当t≤x≤t+1，图像y1=x2−2tx+3的y1随着x的增大而增大，
当x=t+1，y1取最大值−t2+4，
当x=t时，y1取最小值−t2+3，
最大值比最小值大1；
∵点x,y1与点x,y2到点x,x的距离相等，即点x,y1与点x,y2关于点x,x对称，
∴y1−x=x−y2，
∴x2−2tx+3−x=x−y2，
∴y2=−x2+2t+1x−3，
配方，得：y2=−x−t+12+t2+2t−2，
∴该图像为抛物线，开口向下，对称轴为直线x=t+1，顶点P′t+1,t2+2t−2，且图像恒过点0,−3，当t≤x≤t+1，图像y2=−x2+2t+1x−3的y2随着x的增大而增大，
当x=t+1，y2取最大值t2+2t−2，
当x=t，y2取最小值t2+2t−3，即过点Qt,t2+2t−3，
最大值比最小值大1，
情况1：当Pt,−t2+3在点Qt,t2+2t−3的下方，此时点A在点B上方，即y2>y1，如图1，2所示，
∴t2+2t−3>−t2+3，
解得：t<−1−132或t>−1+132，

情况2：当点P与点Q重合，即两个函数恰好都经过t,t，t+1,t+1，如图3，4所示，
把t,t代入y1=x2−2tx+3，得：t=t2−2t⋅t+3，
解得：t=−1+132或t=−1−132，
由图可知，当x=t或x=t+1时，y1=y2，不符合题意，舍去，

情况3：当点Pt,−t2+3在点Qt,t2+2t−3的上方，如图5，6所示，
可得−1−132此时点A在点B下方，即y2综上所述，t的取值范围为：t>−1+132或t<−1−132．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
B
C
C
C
B
A
C
B
C
C