高考数学第一轮复习复习第5节　指数与指数函数（讲义）

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1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特
殊点.
1.根式
2.有理数指数幂
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来
运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
续 表
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
1.指数函数图象的对称规律
函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称.
2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是01.(多选题)(必修第一册P106例2改编)设a∈R,n,m∈N*,且n≥2,则下列等式一定正确的是( AD )
A.am·an=am+n B.(an)m=am+n
C.nan=a D.(na)n=a
解析:由指数幂的运算公式可得am·an=am+n,(an)m=amn,(na)n=a,所以A,D正确,B错误;对于C,当n为奇数时,nan=a,当n为偶数时,nan=|a|,所以C错误.
2.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( A )
解析:易知f(x)为偶函数,且f(x)=1-e|x|≤0,A正确.
3.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点( B )
A.(-1,-1)B.(-1,1)
C.(0,2a-1)D.(0,1)
解析:令x+1=0,解得x=-1,且f(-1)=1,故函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(-1,1).
4.(2022·重庆月考)计算:(32) -13×(-76)0+814×42-(-23) 23= .
解析:原式=(23) 13×1+234×214-(23) 13=2.
答案:2
指数幂的运算
1.当a>0时,-ax3等于( C )
A.xax B.x-ax
C.-x-axD.-xax
解析:由-ax3成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此-ax3=-ax·x2=-ax·x2=-ax·|x|=-x-ax.
2.化简a23ba-12·3b÷(a-1b-1ba) -23的值为 .
解析:原式=a23·b12a-12·b13÷(a-1b-12b·a12) -23
=a23·b12a-12·b13÷(a-1-12b-12-1)-23
=a23+12b12-13÷(a-32b-32)-23
=a76b16÷(ab)
=a76-1b16-1
=a16b-56.
答案:a16b-56
3.计算:(-278) -23+0.002-12-10(5-2)-1+π0= .
解析:原式=(-32)-2+50012-10(5+2)(5-2)(5+2)+1=49+105-105-20+1=-1679.
答案:-1679
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
指数函数的图象及应用
[例1] 已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求实数a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围.
解:(1)由f(x)=ax+b为减函数可得0所以实数a的取值范围为(0,1),
实数b的取值范围为(-∞,-1).
(2)题图②中f(0)=1+b=-2,所以b=-3,函数y=|f(x)|的图象如图所示.
由图象可知若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,则m=0或m≥3,所以m的取值范围为{0}∪[3,+∞).
[典例迁移1] 若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,一定有( )
A.0B.a>1,且b>0
C.00
D.a>1,且b<0
解析:
由题意作出函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,由图可知函数是一个减函数,则0所以0[典例迁移2] 若函数y=(12)|1-x|+m的图象与x轴 有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.[-1,0)
C.[1,+∞)D.(0,1]
解析:y=(12)|1-x|+m的图象与x轴有公共点,即函数y=(12)|1-x|与y=-m的图象有公共点,y=(12)|1-x|的图象如图所示,
可知0<-m≤1⇒-1≤m<0.故选B.
[典例迁移3] 若函数f(x)=|2x-2|的图象与直线y=b有两个不同的交点,则实数b的取值范围是 .
解析:在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象(y=|2x-2|的图象是由函数y=2x的图象向下平移2个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的),如图所示,
由图象可知当0答案:(0,2)
[典例迁移4] 若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围是 .
解析:画出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.
由图象得|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围是[-1,1].
答案:[-1,1]
(1)指数型函数的图象:①函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度而得到.②函数y=ax+b的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度而得到.③函数y=a|x|的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象相同;当x<0时,其图象与x≥0时的图象关于y轴对称.
(2)涉及与指数函数以及与指数型函数有关的方程、不等式问题,常通过数形结合思想求解.
指数函数的性质及应用
比较指数式的大小
[例2] (1)若a=0.30.7,b=0.70.3,c=1.20.3,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.c>b>a
C.b>c>aD.a>c>b
(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
解析:(1)因为函数y=0.3x在R上是减函数,
所以0<0.30.7<0.30.3<0.30=1,
又因为幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,
0.3<0.7,
所以0<0.30.3<0.70.3,
所以0而函数y=1.2x是R上的增函数,
所以c=1.20.3>1.20=1,所以c>b>a.故选B.
(2)由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y,即2x-(13)x<2y-(13)y.设f(x)=2x-(13)x,则f(x)0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0.故选A.
比较指数式的大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小.
(2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(3)根据题目结构,构造函数,利用函数的单调性比较大小.
解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)若2x2+1≤(14)x-2,则函数y=2x的值域是( )
A.[18,2) B.[18,2]
C.(-∞,18)D.[2,+∞)
(2)已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f(1-a)=f(a-1),则a的值为 .
解析:(1)(14)x-2=(2-2)x-2=2-2x+4,所以2x2+1≤2-2x+4,即x2+1≤-2x+4,即x2+2x-3≤0,所以-3≤x≤1,此时y=2x的值域为[2-3,21],即[18,2].故选B.
(2)当a<1时,41-a=21,解得a=12;当a>1时,代入不成立.故a的值为12.
答案:(1)B (2)12
指数方程、不等式的常见类型及求解方法
(1)af(x)>ag(x)或af(x)解法:af(x)>ag(x)⇔a>1,f(x)>g(x)或0af(x)1,f(x)g(x).
(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
(3)指数方程的求解先将方程两边转化为同底,然后利用指数函数的单调性求解.
指数型复合函数
[例4] 若函数f(x)=(13) ax2+2x+3的值域是(0,19],则f(x)的单调递增区间是 .
解析:令g(x)=ax2+2x+3,则f(x)=(13)g(x),
由于f(x)有最大值19,所以g(x)应有最小值2,
因此必有a>0,12a-44a=2,解得a=1,
即当f(x)有最大值19时,a的值为1.
这时g(x)=x2+2x+3,f(x)=(13) x2+2x+3.
由于g(x)的单调递减区间是(-∞,-1),
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a>1,函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递增(减)区间;若0指数型函数的值域
[例5] 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为 .
解析:当a>1时,y=a2x+2ax-1在[-1,1]上是增函数;当01,a2+2a-1=14或0答案:3或13
关于ax(a>0,且a≠1)的二次函数问题,一般可利用换元法转化为二次函数问题,要注意换元后新元的取值范围.
[针对训练]
1.(2022·山东临沂模拟)已知a=31.1,b=41.1,c=30.9,则a,b,c的大小关系为( )
A.cC.b解析:由题意,构造函数y=3x,y=x1.1,由指数函数和幂函数的性质,可知两个函数在(0,+∞)上单调递增;因为0.9<1.1,所以30.9<31.1,所以c综上,c2.已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是( )
A.[2,4] B.(-∞,0)
C.(0,1)∪[2,4]D.(-∞,0]∪[1,2]
解析:因为y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],
所以1≤4x-3·2x+3≤7,
所以-1≤2x≤1或2≤2x≤4.
所以x≤0或1≤x≤2.故选D.
3.函数f(x)=(12) x2-x-1的单调递增区间为( )
A.(-∞,1-52)B.(-∞,12)
C.(1+52,+∞)D.(12,+∞)
解析:由x2-x-1≥0,得x≤1-52或x≥1+52.
函数t=x2-x-1在(-∞,1-52)上单调递减,在(1+52,+∞)上单调递增,而函数y=(12)t在t∈[0,+∞)上是减函数,
所以函数f(x)=(12) x2-x-1的单调递增区间为(-∞,1-52).故选A.
4.已知函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-1)>f(-2),则实数a的取值范围是 .
解析:因为f(x)=a-x=(1a)x,且f(-1)>f(-2),所以函数f(x)在定义域上单调递增,所以1a>1,解得0答案:(0,1)
[例1] 已知函数f(x)=ex-1ex,若f(a-2)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是 .
解析:因为f(x)=ex-1ex,定义域为R,
f(-x)=e-x-1e-x=1ex-ex=-f(x),
所以f(x)=ex-1ex为奇函数.
又因为f(x)=ex-1ex在R上为增函数,
由f(a-2)+f(a2)≤0,得f(a-2)≤-f(a2),即f(a-2)≤f(-a2),
即a-2≤-a2,变形得a2+a-2≤0,
解得-2≤a≤1.
答案:[-2,1]
[例2] 已知函数f(x)=9x-m·3x+m+6,若方程f(-x)+f(x)=0有解,则实数m的取值范围是 .
解析:由题意,得9x+9-x-m(3x+3-x)+2m+12=0有解,
令3x+3-x=t(t≥2),
则9x+9-x=t2-2,
所以t2-mt+2m+10=0有解,
即m(t-2)=t2+10有解,显然t=2无意义.
所以t>2,令t-2=n(n>0),
所以m=(n+2)2+10n=n+14n+4≥214+4,
当且仅当n=14n,即n=14时,取等号,所以m∈[214+4,+∞)
答案:[214+4,+∞)n次方根
概念
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*
性质
当n是奇数时,a的n次方根用符号na表示
当n是偶数时,正数a的n次方根用符号±na表示;负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作 n0=0
根式
概念
式子 na 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数
性质
当n为任意正整数时,(na)n=a
当n为奇数时,nan=a
当n为偶数时,nan=|a|=a,a≥0,-a,a<0
概念
正分数指数幂:amn=nam
a>0,m,n∈N*,
n>1
负分数指数幂:a-mn=1amn=1nam
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算
性质
ar·as=ar+s
a>0,
b>0,
r,s∈Q
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
0a>1
图象
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
0a>1
图象特征
在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降
当x逐渐增大时,图象逐渐上升
性
质
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
单调递减
单调递增
函数变
化规律
当x=0时,y=1
当x<0时,y>1;当x>0时,0当x<0时,00时,y>1