新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题09指数与指数函数(原卷版+解析)

这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题09指数与指数函数(原卷版+解析)，共49页。

命题方向一：指数幂的运算
命题方向二：指数方程、指数不等式
命题方向三：指数函数的概念、图像及性质
命题方向四：比较指数式的大小
命题方向五：指数函数中的恒成立问题
命题方向六：指数函数性质的综合问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍将重点考查指数与指数函数，考查利用指数运算及利用指数函数的图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
【知识点总结】
1、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
【方法技巧与总结】
1、指数函数图象的关键点，，
2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大．
3、指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
【典例例题】
命题方向一：指数幂的运算
例1．（2023·全国·高三专题练习）_________.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求__________
例3．（2023·全国·高三专题练习）________.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）__________．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
命题方向二：指数方程、指数不等式
例4．（2022秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知和是方程的两根，则_________.
例5．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）若、为方程的两个实数解，则______．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________．
变式5．（2022·全国·高三专题练习）方程的解集为________
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
变式7．（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
变式10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程的一组实数对：______．
【通性通解总结】
利用指数的运算性质解题．对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解．形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解．
命题方向三：指数函数的概念、图像及性质
例7．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A．4B．2C．1D．0
例8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（ ）
A．4B．5C．6D．7
例9．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
变式11．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（ ）
A．B．2C．D．4a的值为
变式12．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
变式13．（2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023秋·黑龙江七台河·高三校考期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)
变式17．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数（且）的图象恒过定点，且点在线段上，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．9
【通性通解总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响．
命题方向四：比较指数式的大小
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
变式18．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
命题方向五：指数函数中的恒成立问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.
例14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知
(1)求的解析式，并求函数的零点；
(2)若，求；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【通性通解总结】
已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
命题方向六：指数函数性质的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是___________．
例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．
变式25．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___．
变式31．（2023·全国·高三专题练习）设方程的解为，，方程的解为，，则______．
变式32．（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的一个根，方程的一个根，则___________.
【通性通解总结】
（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河北·校联考一模）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）
A．元千克B．元千克C．元千克D．元千克
3．（2023·北京·高三专题练习）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广西·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，m，n满足，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
7．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
12．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，方程有两个解
三、填空题
13．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________．
14．（2023·全国·高三专题练习）需求价格弹性系数（其中为的导数）表示在一定时期内当一种商品的价格P变化1%时所引起的该商品需求量Q变化的百分比．已知某种商品的需求量Q关于价格P的函数关系式为（b为常数），若该商品当前价格为4元，为－0.5，则需求量Q＝______.
15．（2023·全国·高三专题练习）有下列三个不等式：①；②；③，则正确不等式的序号为______
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）求
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
19．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且.
(1)求函数和的解析式；
(2)若的最小值为，求实数的值.
20．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数（，为常数，且）的图象经过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于不等式对都成立，求实数的取值范围.
21．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，与的图象关于直线对称的图象过点.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
22．（2023·全国·高三专题练习）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
专题09 指数与指数函数
【命题方向目录】
命题方向一：指数幂的运算
命题方向二：指数方程、指数不等式
命题方向三：指数函数的概念、图像及性质
命题方向四：比较指数式的大小
命题方向五：指数函数中的恒成立问题
命题方向六：指数函数性质的综合问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍将重点考查指数与指数函数，考查利用指数运算及利用指数函数的图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
【知识点总结】
1、指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
（2）根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．
（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．
（4）有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
（5）有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
【方法技巧与总结】
1、指数函数图象的关键点，，
2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大．
3、指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
【典例例题】
命题方向一：指数幂的运算
例1．（2023·全国·高三专题练习）_________.
【答案】/
【解析】,
故答案为：
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求__________
【答案】
【解析】因为，
所以，解得，所以，
故答案为：．
例3．（2023·全国·高三专题练习）________.
【答案】19
【解析】
.
故答案为：19
变式1．（2023·全国·高三专题练习）__________．
【答案】100
【解析】原式
．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
【答案】
【解析】，
.
故答案为：
变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
【答案】
【解析】在等式两边平方可得，
因此，.
故答案为：.
变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由，所以A正确；
由，所以B正确；
由，
因为，，所以，所以C错误；
由，所以D正确．
故选：ABD．
【通性通解总结】
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
命题方向二：指数方程、指数不等式
例4．（2022秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知和是方程的两根，则_________.
【答案】
【解析】方程可化为，由韦达定理得，，
所以，得.
又，
所以.
故答案为：
例5．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）若、为方程的两个实数解，则______．
【答案】
【解析】因为，且，所以，，即，
，
由题意可知，、为方程的两根，由韦达定理可得.
故答案为：.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，故，解得，故即，故，解得
故答案为：
变式5．（2022·全国·高三专题练习）方程的解集为________
【答案】/
【解析】由题意知，，即，
所以，有，
即，解得或，
当时，有，得或(舍去)，
解得；
当时，有，即，得或(舍去)
解得，
所以方程的解集为：
故答案为：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
变式7．（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】函数在R上单调递增，则，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
变式8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】由，可得，故解集为.
故答案为：.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由，可得.
令，
因为均为上单调递减函数
则在上单调逆减，且，
，
故不等式的解集为.
故答案为：.
变式10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程的一组实数对：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵，
∴，
∴令得：，即：.
故答案为：（答案不唯一）.
【通性通解总结】
利用指数的运算性质解题．对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解．形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解．
命题方向三：指数函数的概念、图像及性质
例7．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】因为，且是定义在R上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为2，
所以.
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】由题意，函数，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：B.
例9．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.
故选：C.
变式11．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（ ）
A．B．2C．D．4a的值为
【答案】B
【解析】因为函数（，且）的图象经过点，
所以，解得：.
故选：B.
变式12．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解析】由指数函数的性质可知：
①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象.
故选：B.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，与只有一个交点，
又的图象如下：

∴.
故选：C.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出函数的图象，如图，
当时，，
由图可知，，即
得，则，
由，即，得，求得，
∴，
故选：D
变式16．（2023秋·黑龙江七台河·高三校考期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)
【答案】A
【解析】当时，，
所以.
故选：A.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数（且）的图象恒过定点，且点在线段上，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．9
【答案】D
【解析】由题意得：，代入直线得，
，当且仅当时取等号
故选：D．
【通性通解总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响．
命题方向四：比较指数式的大小
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
例11．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，，，，，故．
故选：D.
例12．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
得.
若，则，即，
得，与矛盾.
故，由，得，
得.
综上，.
故选：B.
变式18．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据指数函数为单调递增函数可得，，
即；
再由指数函数为单调递减函数可知，，
结合指数函数值域可得；
根据对数函数在上为单调递增可知，，
即；
所以.
故选：A
变式19．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
又函数在上单调递增，，
所以
所以，
故选：C
【通性通解总结】
指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
命题方向五：指数函数中的恒成立问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】原不等式或，
因为,
所以（1）或（2）.
当时，（2）成立，此时.
当，时，（1）成立，
因为在（1）中，，
令，
则为单调递增函数，
所以要使（1）对，成立，
只需时成立.
又时，.
所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是：.
故答案为：
例14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】不等式等价于，
令，，
当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，
如图1所示，由图知不满足条件；
当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，
如图2所示，则，
即，，故的取值范围是，
故答案为：.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】可化为，
令，由，得，
则，
在上递减，当时取得最大值为，
所以．
故答案为．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为：.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知
(1)求的解析式，并求函数的零点；
(2)若，求；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【解析】（1）令，则，
因此，即.
由得，解得，
即函数的零点为.
（2）由（1）知，
因此由得，
所以.
（3）由条件知.
因为对于恒成立，
且，当且仅当时取等号，
所以对于恒成立.
而，
当且仅当即时，等号成立，
所以，因此实数的最大值为4.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【解析】（1）因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
（2）由（1）得，是定义域为的奇函数，
而，则，即，又，解得，
则函数在上单调递增，
，，，
因，则，，于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
（3）当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)当时，即，
即，令 ，则，
解得 ，故 ，
所以关于的不等式的解集为 ；
(2)对，不等式恒成立，
即恒成立，
令 ，则恒成立，
需满足 ，即 ，
而函数 是单调递增函数，且 时， ，
故由可知： ，
即求实数的取值范围为 .
【通性通解总结】
已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
命题方向六：指数函数性质的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.
【答案】
【解析】因为为上的奇函数，
所以，所以，
又当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，，
因为为上的奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是___________．
【答案】
【解析】当时，．
当时，当，，
又，，使得，所以，所以，解得；
当时，当，，
又，，使得，所以，所以，解得．
综上，实数m的取值范围是．
故答案为：.
例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．
故答案为：
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．
【答案】/
【解析】函数的定义域为，且，
所以，函数为奇函数，
因为函数、、均为上的增函数，故函数在上为增函数，
由可得，
所以，，即，当取最大值时，则，
所以，，
当且仅当时，即当，等号成立，
因此，的最大值为.
故答案为：.
变式25．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】令，则在上单调递减，在上单调递增，
又在定义域上单调递减，
所以的单调递增区间.
故答案为：
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由且，
所以为偶函数，
若时，，
而，
所以，故在上递增，则上递减，
要使成立，即，可得.
故答案为：
变式27．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.
【答案】增区间为，减区间为
【解析】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
变式28．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
【答案】2
【解析】因为函数在区间上递增，
所以，
则，解得或（舍去）.
故答案为：.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
变式30．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___．
【答案】4
【解析】由，可得，
则
，
又，则，则的最小值为4
故答案为：4
变式31．（2023·全国·高三专题练习）设方程的解为，，方程的解为，，则______．
【答案】10
【解析】由方程得，由方程得，
在同一坐标系下做出函数、，的图象，
不妨设，如下图，
因为函数与的图象关于对称，即点与点、点与点都关于对称，
由解得，即两直线的交点为，则，
则.
故答案为：.
变式32．（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的一个根，方程的一个根，则___________.
【答案】
【解析】将已知的两个方程变形得，.
令：，，，画出它们的图像，如图，
记函数与的交点为，与的图像的交点为，
由于与互为反函数，且直线与直线垂直，所以与两点关于直线对称，
由，解得，，则.
故答案为：.
【通性通解总结】
（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·河北·校联考一模）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于
所以，，所以.
故选：D.
2．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）
A．元千克B．元千克C．元千克D．元千克
【答案】C
【解析】由题可知，由则
.
故选：C.
3．（2023·北京·高三专题练习）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，当时函数单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
要使函数为增函数，则且，
又函数与在上有两个交点和，
且的增长趋势比快得多，
与的函数图象如下所示：
所以当时，当时，当时，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
4．（2023·广西·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，，，
故.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，
所以由，得，即，
所以，即对于任意的恒成立，
而，则，即实数的取值范围是．
故选：A．
6．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，m，n满足，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
由得，从而得，即
因为，所以，即.
由指数函数值域可得，，所以.
即.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
【答案】B
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；
对于B，，故，选项B正确；
对于 C，， ，因为，所以，选项C错误；
对于D，，选项D错误.
故选：B．
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】令，，在上单调递减，时，，
∴，即，∴，∴，即，∴，排除AB.
时，，，，，
显然，，所以，选C，时可得相同结论，时取“”.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，满足，不满足，即推不出，不必要；A错误；
对于B，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，平方得，又，又，故，
即能推出，必要；B正确；
对于C，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，由，，即能推出，必要；C正确；
对于D，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，满足，不满足，即推不出，不必要；D错误.
故选：BC.
10．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ACD
【解析】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.
故选：ACD.
11．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
【答案】AB
【解析】根据题意可得，易知是减函数，
所以是增函数，即A正确；
由题意可得，所以，
即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；
由指数函数值域可得，所以，即，
所以函数的值域为，所以C错误；
易知，令，整理可得，
令，即，
易知，又因为，即，
所以，即，因此；
即关于的一元二次方程无实数根；
所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；
故选：AB
12．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，方程有两个解
【答案】AC
【解析】在定义域内单调递增，
所以当时，，
即当时，，
所以，故A正确；
当时，要证明，
只需证明，
故考虑构造函数，则，
当时，，函数在单调递增，
所以当时，，即，所以B错误；
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，即，C正确；
取可得，方程等价于，解得，
即时，方程只有一个解，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________．
【答案】9
【解析】设指数函数为，其中且，
将、代入函数解析式得，解得，
.
故答案为：9
14．（2023·全国·高三专题练习）需求价格弹性系数（其中为的导数）表示在一定时期内当一种商品的价格P变化1%时所引起的该商品需求量Q变化的百分比．已知某种商品的需求量Q关于价格P的函数关系式为（b为常数），若该商品当前价格为4元，为－0.5，则需求量Q＝______.
【答案】10
【解析】由可得，，
则，解得b＝－2，
所以，当P＝4时，，
故答案为：10
15．（2023·全国·高三专题练习）有下列三个不等式：①；②；③，则正确不等式的序号为______
【答案】①②
【解析】根据指数函数的单调性可知，．
由可得，所以，所以，①正确；
要判断，即，即，
令，则，
当时，，在单调递增，
所以当时，，则，即，②正确；
要比较与的大小，即比较和的大小，
令，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减．
所以，即（当且仅当时等号成立），
所以，，即，即，③错误．
故正确不等式的序号为①②．
故答案为：①②．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】，令，由于，根据指数函数性质，，
于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.
根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，
故，于是.
故答案为：
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）求
【解析】.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
【解析】令，则，
因为的值域是，即的值域是，
所以的值域为，
若，则为二次函数，其值域不可能为，
若，则，其值域为，
所以
19．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且.
(1)求函数和的解析式；
(2)若的最小值为，求实数的值.
【解析】（1）因为，所以，
因为函数为偶函数，函数为奇函数，所以，
即，
所以，，
又，，所以或(舍)，
从而，.
（2）因为，，，
所以，
令，则：
所以，
因为，当且仅当时取等号，，
所以，所以.
20．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数（，为常数，且）的图象经过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于不等式对都成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）∵函数的图象经过点，，
∴，即，
又∵，∴，，
∴.
（2）由（1）知，，
∴对都成立，即对都成立，
∴，，
在上为增函数，
∴，
∴，
∴的取值区间为．
21．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，与的图象关于直线对称的图象过点.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
【解析】（1）由题意的图象过点，所以，；
（2）由（1），显然，
不等式为，化简得，，
所以不等式的解集为且}．
22．（2023·全国·高三专题练习）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，可得：，解得：，
∴；
（2）由，可得，
令，则，
则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝在上有交点，
数形结合可知m∈[h()，h(4)]＝.
故实数的取值范围为：.
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数