高考数学第一轮复习复习第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（讲义），共20页。

[课程标准要求]
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0°,180°).
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠90°),则斜率k=tan α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则直线l的斜率k=y2-y1x2-x1.
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为P1P2→=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)·(1,y2-y1x2-x1),因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k).
3.直线方程的五种形式
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,不是距离,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.在使用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.
(2)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为x=ty+b.
1.(选择性必修第一册P58 T7改编)若直线经过两点A(5,-m),B(-m,2m-1),且倾斜角为π4,则m的值为( C )
A.2B.3
C.-1D.-32
解析:由题意可知kAB=2m-1+m-m-5=tan π4=1,解得m=-1.
2.过点(1,0)且与直线y=12x-1倾斜程度相同的直线方程是( A )
A.y=12x-12B.y=12x+12
C.y=-2x+2D.y=-12x+12
解析:依题意所求直线方程的斜率为k=12,因此所求的直线方程为y-0=12(x-1),
即y=12x-12.
3.直线x3-y4=1在两坐标轴上的截距之和为( B )
A.1B.-1C.7D.-7
解析:直线在x轴上截距为3,在y轴上截距为-4,因此截距之和为-1.
4.若直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,试写出满足条件的a,b,c一组有序数对(a,b,c) .(只写出一组即可,不必考虑所有情况)
解析:易知直线的斜率存在,则直线方程可化为y=-abx-cb,
由题意知-ab<0,-cb>0,所以ab>0,bc<0.
因此答案可以为(1,1,-1).
答案:(1,1,-1)(答案不唯一)
直线的倾斜角与斜率
1.若A(-2,3),B(3,-2),C(12,m)三点在同一条直线上,则m的值为( B )
A.23B.12C.-12D.-23
解析:因为A,B,C三点在同一条直线上,
所以kAB=kAC,所以-2-33+2=m-312+2,解得m=12.
2.直线2xcs α-y-3=0(α∈π6,π3)的倾斜角的变化范围是( B )
A.π6,π3B.π4,π3
C.π4,π2D.π4,2π3
解析:直线2xcs α-y-3=0的斜率k=2cs α.
由于α∈π6,π3,
所以12≤cs α≤32,
因此k=2cs α∈[1,3].
设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,3].
由于θ∈[0,π),
所以θ∈π4,π3,
即倾斜角的变化范围是π4,π3.
3.如图,在平面直角坐标系中有三条直线l1,l2,l3,其对应的斜率分别为k1,k2,k3,则下列选项正确的是( C )
A.k3>k1>k2B.k1-k2>0
C.k3>k2>k1D.k1·k2<0
解析:由题图可知,k1<0,k2<0,k3>0,且k14.过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的取值范围是(π4,3π4),则实数m的取值范围是( B )
A.(0,2]B.(0,4)
C.[2,4)D.(0,2)∪(2,4)
解析:由直线的倾斜角α的取值范围是(π4,3π4),可知当直线的斜率存在时,k<-1或k>1.
当m≠2时,k=3-1m-2=2m-2,
所以2m-2<-1或2m-2>1,
解得0当直线的斜率不存在时,m=2符合题意.
综上,实数m的取值范围是(0,4).
(1)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要注意正切函数k=tan α的单调性,当α取值由0增大到π2(α≠π2)时,k由0增大到+∞,当α取值由π2(α≠π2)增大到π(α≠π)时,k由-∞增大到0.
(2)已知三个点的坐标求解三点共线问题,只需要利用三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在)即可.
(3)斜率的两种求法
①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.
②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)求斜率.
直线方程
[例1] 求下列直线的一般式方程:
(1)已知直线l过点A(-2,5)且直线的一个方向向量为n=(-3,4);
(2)过点P(-2,3)且与x轴、y轴分别交于A,B两点,且P恰为线段AB的中点;
(3)倾斜角为直线y=-3x+5的倾斜角的一半,在y轴上的截距为-2;
(4)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.
解:(1)由直线l的一个方向向量为n=(-3,4)可知k=-43,由点斜式可知直线的方程为y-5=-43(x+2),整理可得4x+3y-7=0.
(2)设A(x,0),B(0,y),
由中点坐标公式得x+02=-2,0+y2=3,
解得x=-4,y=6,
因此直线l过点(-2,3),(-4,0).
因此直线l的方程为y-30-3=x+2-4+2,
整理可得3x-2y+12=0.
(3)因为直线y=-3x+5的斜率为-3,
所以其倾斜角为2π3,
故所求直线的倾斜角为π3,其斜率为k=tan π3=3,又截距b=-2,所以直线方程为y=3x-2,
即3x-y-2=0.
(4)由题设知直线的横、纵截距均不为0,
故可设直线方程为xa+y12-a=1.
因为直线过点(-3,4),
所以-3a+412-a=1,
解得a=-4或9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
在求直线方程时,应根据各种形式方程的适用条件,选择适当的直线方程的形式,并注意以下两点:(1)若采用截距式,应先考虑截距是否为零.(2)若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
[针对训练] 根据所给条件求直线的方程:
(1)过点(2,1)和(-2,3);
(2)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010;
(3)倾斜角为π4,与y轴的交点到坐标原点的距离为4;
(4)经过点A(2,6),在x轴上的截距为3.
解:(1)由两点式得直线方程为y-13-1=x-2-2-2,
即x+2y-4=0.
(2)由题设知,该直线的斜率存在,
故可采用点斜式.
设倾斜角为α(0≤α<π,且α≠π2),
则sin α=1010,
从而cs α=±31010,
则k=tan α=±13.
故所求直线方程为y=±13(x+4),
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(3)因为直线的倾斜角为π4,所以其斜率k=tan π4=1,由直线与y轴的交点到原点的距离为4,所以直线在y轴上的截距b=4或b=-4.故所求直线方程为y=x+4或y=x-4.
(4)法一 易知直线的斜率存在,
设直线方程为y=k(x-3),
因为点A(2,6)在直线上,
所以k=-6,
所以y=-6×(x-3)=18-6x,
所以所求直线方程为y=-6x+18.
法二 由于直线过点A(2,6)和点(3,0),
则直线的斜率k=6-02-3=-6,
由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x,
所以所求直线方程为y=-6x+18.
直线方程的综合应用
[例2] (1)已知过定点的直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( )
A.x-2y-7=0B.x-2y+7=0
C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0
(2)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)过定点A,求A的坐标并求当直线l不经过第四象限时,k的取值范围.
(1)解析:直线kx-y+4-k=0可变为k(x-1)-y+4=0,所以过定点P(1,4),
又因为直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值,可知k<0,
令x=0,得y=4-k,
所以直线与y轴的交点为A(0,4-k),
令y=0,得x=1-4k,
所以直线与x轴的交点为B(1-4k,0),
所以4-k+1-4k=5+(-k)+(-4k)≥5+2(-k)·(-4k)=5+4=9,当且仅当-k=-4k,即k=-2时,取等号,
所以此时直线的方程为2x+y-6=0.故选C.
(2)解:直线l的方程可化为
k(x+2)+1-y=0,
令x+2=0,1-y=0,解得x=-2,y=1,
所以无论k取何值,直线总经过定点A(-2,1).
又由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有k>0,-1+2kk≤-2,1+2k≥1,
解得k>0.
当k=0时,直线为y=1,符合题意.
故k的取值范围是[0,+∞).
(1)求解含有参数的直线过定点问题的方法是分项整理,将含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点.
(2)涉及直线在坐标轴上的截距问题(或与坐标轴的交点构成的图形面积、周长等问题),常用直线的截距式方程求解.
[针对训练]
1.若直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,当△OAB面积最小时求直线l的方程(O为坐标原点).
解:设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),则3a+2b=1.
因为a>0,b>0,
所以1=3a+2b≥23a·2b,
得ab≥24,
当且仅当3a=2b=12时,
即a=6,b=4时,等号成立.
此时△OAB的面积S=12ab最小.
所以所求直线方程为x6+y4=1,
即2x+3y-12=0.
2.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l经过第二象限,求实数a的取值范围.
解:(1)若2-a=0,解得a=2,因此直线的方程为3x+y=0,此时l在两坐标轴上的截距同为0,符合题意.
若a+1=0,解得a=-1,原方程化为y+3=0,舍去.
若a≠-1,2,化为xa-2a+1+ya-2=1,
令a-2a+1=a-2,化为a+1=1,
解得a=0,
可得直线l的方程为x+y+2=0,
l在两坐标轴上的截距同为-2.
综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.
(2)当y=-(a+1)x+a-2不经过第二象限时,-(a+1)≥0,a-2≤0,
解得a≤-1,
所以l经过第二象限时,实数a的取值范围是(-1,+∞).
[例1] 已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是( )
A.3x+2y-1=0B.2x+3y+1=0
C.3x-2y+1=0D.3x+2y+1=0
解析:法一 因为直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),
所以3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0,
所以过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0.故选D.
法二 3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0两式相减可得3(a1-a2)+2(b1-b2)=0,
由题意a1≠a2,
因此k=b1-b2a1-a2=-32,
所以直线的方程为y-b1=-32(x-a1),
即2y+3x-(3a1+2b1)=0,
结合3a1+2b1+1=0可知过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0.故选D.
[例2] 把直线2x-3y+1=0向左平移2个单位长度后,再向下平移3个单位长度,所得的直线方程为( )
A.2x-3y+4=0B.2x-3y-12=0
C.2x-3y-4=0D.2x-3y+6=0
解析:将直线向左平移2个单位长度可得2(x+2)-3y+1=2x-3y+5=0,
再向下平移3个单位长度可得2x-3(y+3)+5=2x-3y-4=0,
因此所求直线方程为2x-3y-4=0.故选C.
[例3] 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(3,1),C(2,3),若点P(x,y)在△ABC的内部及其边界上运动,则y+1x+1的取值范围是 .
解析:如图,由Q(-1,-1)及已知条件可知
kQA=1-(-1)1-(-1)=1,
kQC=3-(-1)2-(-1)=43,
kQB=1-(-1)3-(-1)=12,
由y+1x+1表示点P(x,y)与点Q(-1,-1)两点连线的斜率可知12≤y+1x+1≤43,
所以y+1x+1的取值范围是[12,43].
答案:[12,43]
[例4] 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定m的值.
(1)直线l在x轴上的截距为-3;
(2)直线l的倾斜角为π4.
解:(1)由题意得m2-2m-3≠0,2m-6m2-2m-3=-3,
解m2-2m-3≠0,得m≠3,且m≠-1,
解2m-6m2-2m-3=-3,得m=-53或m=3(舍去),
所以m=-53.
故当m=-53时,直线l在x轴上的截距为-3.
(2)由题意得2m2+m-1≠0,-m2-2m-32m2+m-1=1,
解2m2+m-1≠0,得m≠12,且m≠-1,
解-m2-2m-32m2+m-1=1,得m=43或m=-1(舍去),
所以m=43.故当m=43时,直线l的倾斜角为π4.
[选题明细表]
1.直线x+3y+1=0的倾斜角是( D )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析:由直线的方程得直线的斜率为k=-33,
设倾斜角为α,则tan α=-33.
又α∈[0,π),所以α=5π6.
2.已知直线l经过点(0,1),其倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,则直线l的方程为( A )
A.x+4y-4=0B.4x+y-1=0
C.x+4y+4=0D.4x+y+1=0
解析:因为直线x-4y+1=0的斜率为14,所以直线l的斜率为-14.又直线l过点(0,1),所以直线 l的方程为y-1=-14x,即x+4y-4=0.
3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0的图象有可能是( B )
解析:由题意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,选项B符合.
4.若点P(a+b,ab)在第二象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是( A )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:由题意可得a+b<0,ab>0,
因此a,b均为负数,
由直线的方程bx+ay-ab=0可得直线的斜率k=-ba<0,在y轴上的截距为--aba=b<0,所以直线不经过第一象限.
5.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为( B )
A.(-∞,π4] B.[0,π4]∪(π2,π)
C.[0,π4] D.[0,π4]∪[3π4,π]
解析:直线l的斜率为k=1-m22-1=1-m2,
因为m∈R,所以k∈(-∞,1],
所以直线的倾斜角的取值范围是[0,π4]∪(π2,π).
6.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线的方程为( D )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0或x+y-3=0
D.2x-y=0或x-y+1=0
解析:当直线过原点时,可得斜率为2-01-0=2,则直线方程为2x-y=0;当直线不过原点时,设方程为xa+y-a=1,代入点(1,2)可得1a-2a=1,解得a=-1,则方程为x-y+1=0,故所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.
7.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 .
解析:设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a-1.
由题意知a,a-1均不为0,
由截距式可得直线方程为xa+ya-1=1,将(6,-2)代入直线方程,
解得a=2或3.
因此所求直线方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0.
答案:x+2y-2=0或2x+3y-6=0
8.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的12,l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为 .
解析:由2x-3y+12=0的斜率为23,在y轴上的截距为4可知,所求直线l的斜率为13,在y轴上的截距为8,所以直线l的方程为y=13x+8,
即x-3y+24=0.
答案:x-3y+24=0
9.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
直线l的斜率k的取值范围是 ,
直线l的倾斜角α的取值范围是 .
解析:如图所示,
由题意可知
kPA=4-0-3-1=-1,
kPB=2-03-1=1.
要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是
k≥kPB或k≤kPA,即k≥1或k≤-1.所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1] ∪[1,+∞).
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,
又PB的倾斜角是π4,PA的倾斜角是3π4,
所以倾斜角α的取值范围是π4,3π4.
答案:(-∞,-1]∪[1,+∞) [π4,3π4]
10.(多选题)直线l:xa+yb=1中,已知a>0,b>0.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则数对(a,b)可以是( AC )
A.(3,8) B.(1,9) C.(7,4) D.(5,3)
解析:因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab,于是12ab≥10,解得ab≥20.结合选项可知,(3,8),(7,4)满足
题意.
11.已知直线l1,l2的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则( C )
A.b>0,d<0,a0,d<0,a>c
C.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a解析:由题图,可知直线l1的斜率大于0,其在y轴上的截距小于0,
所以-1a>0,-ba<0,即a<0,b<0;
直线l2的斜率大于0,其在y轴上的截距大于0,
所以-1c>0,-dc>0,即c<0,d>0.
又直线l1的斜率大于直线l2的斜率,
即-1a>-1c>0,
所以a>c.
12.已知直线经过A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三个点,且a,b均为正整数,则此直线的一般式方程为 .(只要写出符合条件的一条直线方程即可)
解析:因为直线经过A(a,0),B(0,b),
所以直线的截距式方程为xa+yb=1.
又因为C(1,3)在直线上,所以1a+3b=1,
整理得a=bb-3=1+3b-3.
又因为a,b均为正整数,所以b=4或6.
所以当b=4时,a=4;当b=6时,a=2.
所以直线方程为x4+y4=1或x2+y6=1,
即x+y-4=0或3x+y-6=0.
答案:x+y-4=0(或3x+y-6=0)
13.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则其一条边所在直线的斜率是 .
解析:以正方形ABCD的顶点A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,根据题意,对角线AC的斜率为3,设其倾斜角为α,tan α=3,则正方形的边AB,AD的倾斜角分别为α-π4,α+π4,
又tan (α-π4)=tanα-11+tanα=12,
tan (α+π4)=tanα+11-tanα=-2,
所以一条边所在直线的斜率为12或-2.
答案:12或-2
14.(多选题)已知直线xsin α+ycs α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是( BD )
A.直线的倾斜角是π-α
B.无论α如何变化,直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析:根据直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,所以A不正确;当x=y=0时,xsin α+ycs α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;当α=π2时,直线斜率不存在,C不正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=12|1-sinα|·|1-csα|=1|sin2α|≥1,所以D正确.名称
方程
适用范围
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含直线x=x0
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=
y1(y1=y2)
截距式
xa+yb=1
不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,A2+B2≠0
平面内所有
直线都适用
知识点、方法
题号
直线的倾斜角与斜率
1,5,9,12,14
直线方程
2,6,7,8,11,12
直线方程的综合应用
3,4,10,14