第37讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2．直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3．过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4．三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
二、直线的方程
1．直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2．直线方程的五种形式
【常用结论】
1.求曲线（或直线）方程的方法
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
2．线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
3．两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
二、题型分类精讲
题型一 直线的倾斜角与斜率
【典例1】已知点，，，点Q是线段AB上的动点．
(1)求直线PQ的斜率的范围；
(2)求直线PQ的倾斜角的范围．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（ ）
A．0B．C．D．
三、填空题
9．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考开学考试）过两点的直线的倾斜角为，那么 .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ．
题型二 直线的方程
策略方法 求直线方程的两种方法
【典例1】根据条件写出下列直线的方程：
(1)斜率为，在轴上的截距是；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是；
(3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线经过点，则该直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．2D．
4．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
二、填空题
5．（2023·高三课时练习）经过点和点的直线方程是 .
6．（2023·高三课时练习）第二、四象限角平分线所在直线的方程是 .
7．（2023·全国·高三专题练习）若过两点，的直线的斜率为12，则直线的方程为 ．
8．（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知中的三个点在直线上，则 ．
题型三 直线过定点的问题
策略方法
合并参数是解决问题的关键点
【典例1】已知直线的方程为：
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若三个数成等差数列，则直线必经过定点（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值（ ）
A．B．C．4D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 则当变化时，直线都通过定点
8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点，设动直线和动直线交于点，则的取值范围是 ．
题型四 两直线间夹角的问题
策略方法
若直线与直线的夹角为，则.
【典例1】已知两条直线，，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，求的取值范围．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与直线，若直线与直线的夹角是60°，则k的值为（ ）
A．或0B．或0
C．D．
二、填空题
2．（2023·高三课时练习）若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为 .
3．（2023·高三课时练习）已知直线和的夹角为，那么的值为 .
①直线的倾斜角与斜率
②直线的方程
③直线过定点的问题
④两直线的夹角公式
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可