高考数学第一轮复习复习第1节　平面向量的概念及线性运算（讲义）

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[课程标准要求]
1.向量概念
(1)通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义;
(2)理解平面向量的几何表示和基本要素.
2.向量运算
(1)借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义;
(2)通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义;
(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任意向量平行.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
提醒:只有当a≠0时,定理中的实数λ才唯一,否则不唯一.
1.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP→=12(OA→+OB→).
2.OA→=λOB→+μOC→(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则PA→+PB→+PC→=0⇔P为△ABC的重心.
1.下列各式化简结果正确的是( B )
A.AB→+AC→=BC→
B.AM→+MB→+BO→+OM→=AM→
C.AB→+BC→-AC→=0
D.AB→-AD→-DC→=BC→
2.(多选题)(2022·山东威海月考)下列说法正确的是( ABC )
A.非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件
B.若AB→与BC→共线,则A,B,C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向
D.设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
解析:根据向量的有关概念可知A,B,C正确,对于D,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,故D错误.
3.平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近点B),则EF→等于( D )
A.12AB→-13AD→B.14AB→+12AD→
C.13AB→+12AD→D.12AB→-23AD→
解析:因为点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近点B),所以EF→=EC→+CF→=12DC→+23CB→=12AB→-23AD→.
4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
解析:因为向量a,b不平行,所以a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=12.
答案:12
5.如图,O在△ABC的内部,D为AB的中点,且OA→+OB→+2OC→=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为 .
解析:因为D为AB的中点,则OD→=12(OA→+OB→),又OA→+OB→+2OC→=0,所以OD→=-OC→,
所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点,
所以S△AOC=12S△ADC=14S△ABC,
则S△ABCS△AOC=4.
答案:4
平面向量的基本概念
1.给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③λa=0(λ为实数),则λ必为零;
④所有的单位向量都相等.
其中错误命题的个数为( C )
A.1B.2C.3D.4
解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.
③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
④错误,两个单位向量方向不一定相同.
2.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( B )
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|
D.|-λa|≥|λ|·a
解析:对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ