2025高考数学一轮知识必备练习第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示，共4页。试卷主要包含了理解平面向量基本定理及其意义，能用坐标表示平面向量共线的条件等内容，欢迎下载使用。

1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 .我们把{,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解及坐标表示
（1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
（2）线性运算的坐标表示.
（3）平面向量共线的坐标表示：设,,其中，向量,共线的充要条件是 .
常用结论
1.平面向量基本定理的推论
（1）设,，且,不共线，若,则且.
（2）若与不共线，且,则.
（3）教材例1推论.
①已知平面上点是直线外一点，，是直线上给定的两点，则平面内任意一点在直线上的充要条件是：存在实数，使得.特别地，当时，是线段的中点.
②对于平面内任意一点，，，三点共线 存在唯一的一对实数 ， ，使得,且.
2.重要坐标公式
已知的顶点,,,则线段的中点坐标为,,的重心坐标为,.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.（ × ）
（2） 若，不共线，且，则，.（ √ ）
（3） 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.（ √ ）
（4） 若，，则的充要条件是.（ × ）
（5） 向量的坐标就是向量终点的坐标.（ × ）
2. 设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是 （ C ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
解：因为，是平面内不共线的两个向量，
对于，因为 与 不共线，所以可以作为基底.
对于，因为 与 不共线，所以可以作为基底.
对于，因为，所以 与 共线，不可以作为基底.
对于，因为 与 不共线，所以可以作为基底.故选.
3. （教材题改编）已知点，，，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：依题意,得，，所以.故选.
4. （教材题改编）已知向量，，若，则的值为 （ C ）
A. 1B. C. 2D.
解：由向量，，，可得,解得.故选.名称
文字叙述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
若，,则
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若，,则
两点构成的向量坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
若，，则（, ）
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
若，，则