2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第二节平面向量基本定理及坐标表示

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第二节平面向量基本定理及坐标表示，共11页。试卷主要包含了了解平面向量基本定理及其意义．，故选C等内容，欢迎下载使用。

1.了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
问题思考·夯实技能
【问题1】 在给定基底的情况下，同一向量的分解形式是否唯一？
【问题2】 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以是＝吗？
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)[2024·河北石家庄模拟]如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
(2)如图所示，AD是△ABC的中线．O是AD上的一点，且＝2，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
题后师说
应用平面向量基本定理的策略
巩固训练1 (1)(多选)[2024·山东聊城模拟]已知e1，e2是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是( )
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1＋e2和e1－e2 D．e1－2e2和4e2－2e1
(2)[2024·广东梅州模拟]如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋n，则m＋n＝( )
A． B．1 C． D．

题型二 平面向量的坐标运算
例 2 (1)已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
(2)如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
题后师说
(1)利用向量的坐标运算解题，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
巩固训练2
(1)已知A(0，1)，B(3，－2)，且＝2，则的坐标为( )
A．(2，－1) B．(6，－5)
C．(6，－6) D．(2，－2)
(2)如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量m，n，p满足p＝xm＋yn(x，y∈R)，则4x＋y＝________．
题型三 向量共线的坐标表示
角度一 利用向量共线求参数
例 3 [2024·河北唐山模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若(kb＋a)∥(b－a)，则实数k＝________．
角度二 利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 [2024·江西抚州模拟]已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||＝||，则点P的坐标为________．
题后师说
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
巩固训练3
(1)[2024·河南开封模拟]已知向量a＝(－1，1)，b＝(1，m)，若a∥(ma＋b)，则m＝( )
A． B．1
C．－ D．－1
(2)已知O为坐标原点，＝，若P1(1，2)，P2(2，－1)，则与共线的单位向量为( )
A．(3，－4)
B．(3，－4)或(－3，4)
C．(，－)或(－)
D．(，－)

1．[2024·河北保定模拟]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，则x＝( )
A．9 B．3 C．6 D．5
2．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
3．[2024·河南平顶山模拟]已知向量a＝(1，－1)，b＝(m2，m)，则m＝－1是a∥b的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．[2024·江苏镇江模拟]在△ABC中，AB＝3AD，点E是CD的中点．若存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝________(请用数字作答)．
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：唯一．若{e1，e2}是基底，且a＝λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，则必有λ1＝λ2，μ1＝μ2.
【问题2】 提示：不可以．因为当＝时一定有a∥b，但当a∥b时，＝不一定成立，因为x2，y2中可能为0.
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)＝.
又E为DC中点，则＝＝；
F为AD中点，则＝＝.
则＝⇒＝；
＝⇒＝.
则＝＝.故选D.
(2)因为AD是△ABC的中线，O是AD上的一点，且＝2，所以O是△ABC的重心，则＝)＝)＝)＋＝，又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝－，可得λ＋μ＝－，故选C.
答案：(1)D (2)C
巩固训练1 解析：(1)根据平面向量基底的定义知，向量e1，e2为不共线非零向量，即不存在实数λ，使得e1＝λe2，对于A中，向量e1和e1＋e2，不存在实数λ，使得e1＝λ(e1＋e2)，符合题意；对于B中，向量e1－2e2和e2－2e1，假设存在实数λ，使得e1－2e2＝λ(e2－2e1)，可得，此时方程组无解，所以e1－2e2和e2－2e1可以作为基底，符合题意；对于C中，向量e1＋e2和e1－e2，假设存在实数λ，使得e1＋e2＝λ(e1－e2)，可得，此时方程组无解，所以e1＋e2和e1－e2可以作为基底，符合题意；对于D中，向量e1－2e2和4e2－2e1，假设存在实数λ，使得e1－2e2＝λ(4e2－2e1)，可得，解得λ＝－，所以e1－2e2和4e2－2e1不可以作为基底，不符合题意．故选ABC.
(2)因为P是BN的中点，所以＝.所以＝＝＝)＝＝，所以m＝，n＝，所以m＋n＝.故选D.
答案：(1)ABC (2)D
例2 解析：(1)设D(x，y)，则＝(x，y－1)，且＝(1，－1)，＝2，∴(x，y－1)＝2(1，－1)，∴，∴x＝2，y＝－1，∴点D的坐标为(2，－1)．故选D.
(2)如图所示，以O为原点，OB为x轴，OB的垂线为y轴，建立直角坐标系，B(2，0)，
∵∠BOC＝30°，OC＝2，∴C(2cs 30°，2sin 30°)，即C(，1)，
∵∠BOA＝120°，OA＝2，∴A(2cs 120°，2sin 120°)，即A(－1，)，
又＝λ＋μ，∴(，1)＝λ(－1，)＋μ(2，0)，
∴，解得，∴λ＋μ＝.
答案：(1)D (2)
巩固训练2 解析：(1)设C(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(3－x，－2－y)，由＝2，则，解得，所以＝(2，－2)．故选D.
(2)建立如图所示直角坐标系，设小方格的边长为单位长度1，
可得m＝(1－0，4－1)＝(1，3)，同理可得n＝(3，－2)，p＝(4，3)，
∵p＝xm＋yn(x，y∈R)，
∴
将方程组中两式相加，可得4x＋y＝7.
答案：(1)D (2)7
例3 解析：由a＝(1，2)，b＝(2，3)，得kb＋a＝(2k＋1，3k＋2)，b－a＝(1，1)，由(kb＋a)∥(b－a)，得(3k＋2)－(2k＋1)＝0，所以k＝－1.
答案：－1
例4 解析：点P在线段AB的延长线上，与方向相反，
由||＝||，则有＝－，
设P(x，y)，则(x－2，y－3)＝－(4－x，－3－y)，
即，解得，
故点P的坐标为(10，－21)．
答案：(10，－21)
巩固训练3 解析：(1)由题设ma＋b＝(1－m，2m)，又a∥(ma＋b)，则＝，可得m＝－1.故选D.
(2)由＝得＝0，即＝＝＝，＝＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，||＝＝5，与同向的单位向量为＝(，－)，反向的单位向量为(－)．故选C.
答案：(1)D (2)C
随堂检测
1．解析：因为a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，所以2x＝3×4，解得x＝6.故选C.
答案：C
2．解析：设c＝(x，y)，因为向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，所以a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，又a＋2b＝kc，所以(，－3)＝k(x，y)⇒，k＝0时不成立，所以k≠0，所以y＝－x.选项A，c＝(，－1)不满足y＝－x；选项B，c＝(－1，－)不满足y＝－x；选项C，c＝(－，－1)不满足y＝－x；选项D，c＝(－1，)满足y＝－x，故选D.
答案：D
3．解析：若a∥b，则m＋m2＝0，解得m＝－1或m＝0，则m＝－1是a∥b的充分不必要条件．故选A.
答案：A
4．解析：因为E是CD的中点，所以＝＝＝)＝)，因为AB＝3AD，所以＝，所以＝，所以λ＝，μ＝，即λ＋μ＝＝.
答案：