2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示，共8页。试卷主要包含了平面向量的坐标运算，平面向量基本定理及其应用，共线向量的坐标表示及应用等内容，欢迎下载使用。
例1 设点，，，且，则点的坐标为 .
解：由题意，可得，，
所以.
设点 的坐标为，则，
可得 解得
所以点 的坐标为.故填.
【点拨】 平面向量坐标运算的技巧.①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算.②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）进行求解.
变式1 设，，，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：设，则，.因为，所以.
所以 解得 即.
则，.故选.
考点二 平面向量基本定理及其应用
例2
（1） 在平行四边形中，，.若，则 .
解：如图，由题意，得


.
又，所以,.
则.
故填.
（2） 如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为 ，与的夹角为 ，且，，若，则 的值为6.
解：（方法一）以 和 为邻边作平行四边形，如图1，则.
图1
因为 与 的夹角为 ，与 的夹角为 ，所以 ，在 中，.
所以，，所以，所以，即.
（方法二）以 为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则，，.即，，，.
图2
由，，，即 ，，
得 所以 即.故填6.
【点拨】 应用平面向量基本定理应注意定理中的基底必须是两个不共线的向量.选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来,根据基底表示的唯一性列方程或方程组求解.
变式2
（1） 在中，为的中点，为上一点，且，若，则（ A ）
A. 0B. 1C. D.
解：因为 为 的中点，所以.
又因为，所以,.
则,，所以.故选.
（2） 已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若 ，则（ D ）
A. 2B. C. 3D.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，.
因为，所以.
所以 解得
所以.
故选.
考点三 共线向量的坐标表示及应用
例3
（1） 设平面向量，，若，则（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，知，得.所以，所以.故选.
（2） 已知梯形，其中，且，三个顶点，，，则点的坐标为 .
解：因为在梯形 中，，，所以.设点 的坐标为，
则，
.
所以，即，所以 解得
故点 的坐标为.故填.
【点拨】两平面向量共线的充要条件有两种形式.①若，，则的充要条件是.的充要条件是存在唯一一个实数 ，使.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
变式3
（1） 已知向量，，则“”是“”的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：若，则，所以.
当，即 时，满足，而 无意义.
所以“”是“”的充分不必要条件.故选.
（2） 已知向量，，且，则（ B ）
A. 2B. C. 3D.
解：由题意，可得，
则.故选.
（3） （教材习题）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 .
解：因为点 在线段 的延长线上，且，所以.
所以.
所以点 的坐标为.故填.
课外阅读·以数辅形在平面向量中的应用
向量是沟通几何和代数的桥梁，有垂直背景的试题中，直观不易处理时，常可利用向量的正交分解解题，体现出数形结合思想中的“以数辅形”.如条件中的图形是矩形（正方形）、等腰（等边）三角形、等腰（直角）梯形等时，因为此时建系确定坐标更为容易.与圆相关的问题则常建好系后利用圆的参数方程求解，其中圆心为，半径为的圆的参数方程为,特别地,以原点为圆心的单位圆的参数方程为.但是要注意灵活应用，不可把简单问题复杂化.
1. 如图，已知为边长为2的正方形所在平面内一点，则的最小值为（ A ）
A. B. C. D.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设,则,,,.所以,，故.
所以当时，最小，且最小值为.故选.
2. [2022年北京卷]在中，,, .为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 （ D ）
A. B. C. D.
解：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，.
因为，所以 在以 为圆心，1为半径的圆上运动.设，，则，.所以，其中，.
因为，所以，即.故选.