2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.5对数函数（附解析）

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1. 函数的定义域是 （ C ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
解：由 解得，故所求函数的定义域为，.故选.
2. 已知函数（，且，，为常数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ D ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
解：由题图，可知 是减函数，所以.又，所以.故选.
3. 若，则不等式的解集是（ B ）
A. B. C. D.
解：易得，所以.故选.
4. 函数的图象大致为 （ A ）
A. B. C. D.
解：函数定义域是，，因此函数为偶函数，排除，.时，是增函数，排除.故选.
5. 若，，，则 （ D ）
A. B. C. D.
解：因为，，，所以.故选.
6. 【多选题】若函数，则下列说法正确的是（ AC ）
A. 的图象关于轴对称
B. 当时，单调递增；当时，单调递减
C. 的最小值是
D. 无最大值，也无最小值
解：函数 的定义域为，且满足，所以函数 是偶函数，其图象关于 轴对称，正确.
当 时，.令，原函数变为.因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.所以当 时，的最小值为.又 是偶函数，所以函数 的最小值是，故，不正确，正确．故选.
7. 已知幂函数的图象过函数，且的图象所经过的定点，则8．
解：因为函数 为幂函数，所以，得，即.函数，且 的图象过定点.所以.故填8.
8. 已知函数.
（1） 求函数的定义域;
解：由已知，得 解得,所以函数 的定义域为.
（2） 求函数的零点;
[答案].令,得,即,解得.因为,所以函数 的零点是.
（3） 若函数的最小值为,求的值.
[答案]
由（2）,知.因为,所以.
因为,所以.
所以,所以.
【综合运用】
9. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
解：当 时，由复合函数与对数函数的性质，知不合题意；当 时，解得.故实数 的取值范围是．故选.
10. 函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（ D ）
A. ,B. ,C. D. ,
解：因为函数 是定义在 上的奇函数，所以，当 时，.又 有意义，所以 是定义域为 的偶函数.所以，所以，即.因为 在区间 上单调递增，所以，则 或，解得 或.故选．
11. 如图所示，正方形的四个顶点在函数，，的图象上，则2.
解：设，，，.
则，所以.
又，，所以，.
因为 为正方形，所以.
可得，解得.故填2.
12. 已知函数.
（1） 若函数在内有意义，求实数的取值范围;
解：由 在 内有意义，知 对 恒成立.
因为 图象的对称轴为,
所以当 时，,
即 解得.
当 时，,即，所以.
综上，的取值范围为.
（2） 若函数的值域为，求实数的值.
[答案]
因为，所以 的值域为.
又,所以.解得.
【拓广探索】
13. 已知函数，若，则 （ C ）
A. B.
C. D. 以上选项均有可能
解：作出函数 的图象，如图.
由图象，可知,.
则.
所以，
即，，则.
故选.