2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.5对数函数

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.5对数函数，共8页。试卷主要包含了对数函数的图象及应用，对数函数的性质及应用等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） 已知函数（，且，，为常数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ D ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
解：因为函数 为减函数，所以.因为函数 的图象与 轴的交点在正半轴，所以，即.因为函数 的图象与 轴有交点，所以.所以．故选 ．
（2） 已知且，且，则函数与的图象可能是 （ B ）
A. B. C. D.
解：，则.当 时，，函数 与 均单调递减，四个图象均不满足.
当 时，，函数 与 均单调递增，排除，，.
在同一坐标系中的图象可能是.
故选.
【点拨】 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解.
变式1
（1） 函数的图象是（ D ）
A. B.
C. D.
解：因为
则函数的定义域为，即函数图象只出现在 轴右侧,值域为,即函数图象只出现在 轴上方.
且函数 的图象是在区间 上单调递减的曲线，在区间 上单调递增的曲线.
由增长趋势知 错误，只有 满足要求.
故选 .
（2） 设，，均为实数，且，，，则（ D ）
A. B. C. D.
解：在同一直角坐标系中画出函数，，，的图象，如图所示.
结合图象，知．故选 ．
考点二 对数函数的性质及应用
命题角度1 比较大小
例2
（1） 设，，，则,,的大小关系为 （ D ）
A. B. C. D.
解：因为,所以.故选 .
（2） 设，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：因为，，所以，，.所以，即.又因为，，所以，即.
故选.
【点拨】比较两个对数的大小的基本方法如下.①若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论.②若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较.③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
变式2
（1） 已知，，，则，，的大小关系为 （ D ）
A. B. C. D.
解：（方法一）因为，，，
所以.
（方法二），在同一平面坐标系中作出函数，的图象，由图知.故选.
（2） 【多选题】已知 ,,,则（ AD ）
A. B.
C. D.
解：因为 ,所以.又,所以,,所以 正确，错误.因为,,所以 正确，错误.故选.
命题角度2 解与对数有关的不等式
例3
（1） 函数的定义域为（ A ）
A. ，B. ，
C. D. ，
解：由题意,有 解得.所以原函数的定义域为,.故选 .
（2） 若，且，则实数的取值范围是 ．
解：.当 时，解得.当 时，解得.综上，实数 的取值范围是，．故填．
【点拨】 在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性.在利用单调性时，一定要明确底数的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正.
变式3
（1） 若，则的取值范围是（ C ）
A. B. ,C. ,D.
解：由题意，得 且，故必有.又，所以.同时，所以.综上，,.故选 .
（2） 已知定义在上的偶函数在上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（ C ）
A. ,B. ,C. ,D.
解：由，得.
因为函数 在 上单调递增，所以，即，解得.
故 的取值范围是,.故选.
命题角度3 综合应用
例4 已知函数.
（1） 当时，求的值域；
解：令，当 时，.
在,上单调递减，在,上单调递增，所以当 时，取得最小值，当 时，取得最大值5.所以当 时，的值域为,.
（2） 求不等式的解集.
[答案]
不等式 可化为，
解得 或，即 或.所以 或.
所以不等式 的解集为,.
【点拨】 恒成立、有解问题依然是通过转化与化归思想转化为值域问题.
变式4
（1） 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
解：因为 在 上单调递减，所以若 在 上单调递增，则 在 上单调递减，且 在 上恒成立.所以 解得，即实数 的取值范围为,.故填 .
（2） 若函数且的值域是，则实数的取值范围是 .
解：当 时，，即函数的值域为.当 且 时，，即函数的值域为.由，得，解得.当 且 时，，与题设不符.所以实数 的取值范围是.故填.
课外阅读·函数中的等高线问题
当题目可变形为结构相同函数在不同自变量处的取值相同问题时，常转化为函数图象与某条直线的交点问题，即等高线问题.解决此类问题的关键是抓住相同取值处的自变量关系数形结合，注意掌握这种构造思想，除了小题中是热门考点外，大题（导数综合问题）也常应用.
1. 已知函数若，且，则的取值范围是 ．
解：由题意，作出函数 的图象如图所示.
由图，可知，，.
所以.故 的取值范围是，.故填.
2. 已知函数，若，且，则的取值范围是 .
解：画出 的图象如图.因为，且，所以 且，，所以，所以，所以，当且仅当 即，时，等号成立.故填
.