2025高考数学一轮课时作业第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性（附解析）

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1. 函数的单调递增区间是（ D ）
A. ,和,B. ,和,
C. ,D. ,
解：函数 的定义域为，
.
令，得.
所以函数 的单调递增区间为,.
故选.
2. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ D ）
A. B.
C. D.
解：设 的图象与 轴的交点依次为,,，且，则 在 上单调递增.只有选项 符合题意.故选.
3. 已知函数，，则的单调递减区间为（ B ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：由题意，知，.
令，则.因为，所以，即.
所以 的单调递减区间为,.
故选.
4. 设函数，则“”是“在区间上单调递增”的 （ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：函数 的定义域为.
.
当 时，，所以 在 上单调递增，充分性成立.
当 时，在 上单调递增，可知必要性不成立.
故选.
5. 下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是 （ C ）
A. B.
C. D.
解： 中，，所以 在 上不恒非负，即 在 上不单调递增，错误.
中，，知 为偶函数，所以 的图象不关于原点对称，错误.
中，，即 为奇函数，图象关于原点对称.
又，时，恒成立，
所以 在 上单调递增，正确.
中，，当 时，在 ,上单调递增，在,上单调递减，错误故选.
6. 已知函数，则的大致图象为 （ A ）
A. B.
C. D.
解：.
当 时，;当 或 时，.
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
又当 时，，则.故符合条件的函数图象为.
故选.
7. 已知，则不等式的解集为 .
解：，故函数 在 上单调递增.又，故不等式 可化为，得，解得.故填.
8. 已知函数,．
（1） 若函数的单调递减区间为，求实数的值；
解：.
因为函数 的单调递减区间为，所以,是 的两个根，所以，解得.
当 时，由，解得.所以函数 的单调递减区间为.满足题意.所以.
（2） 若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
[答案]
因为 在 上单调递减，所以 对 恒成立.
则，即 恒成立.所以.即实数 的取值范围为.
【综合运用】
9. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. ，C. D. ，
解：函数 的定义域为，.由，得.依题意，得 解得.故选.
10. 已知，，，，则 （ C ）
A. B.
C. D.
解：因为当 时,，所以 在 上单调递减.
因为，即，所以.故选.
11. 已知函数.若在上单调递增，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：.
由题意，得，即 在,上恒成立，所以 在，上恒成立.当,时，，所以，则.所以 的取值范围为.故选.
12. 讨论下列函数的单调性.
（1） ,.
解：.
令 或.又,,所以.
令.
所以 的单调递增区间为,，单调递减区间为,.
（2） .
[答案]
的定义域为，.
①当 时，令，得；令，得.此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
②当 时，令，得；令，得 或.此时 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
③当 时,显然 恒成立，此时 在 上单调递增.
④当 时,令，得；令，得 或.此时 在 上单调递减,在 和 上单调递增.
【拓广探索】
13. 制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲、乙两个科研小组，分别用两种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为,乙小组制作的晶圆厚度为,则（ A ）
A. 甲小组制作工艺水平更高B. 乙小组制作工艺水平更高
C. 甲、乙小组制作工艺水平相当D. 无法判断哪个小组制作工艺水平更高
解：设,,,.
令,,,,所以 在,上单调递减.所以,即,所以 在,上单调递减.所以,即,
所以.故选.