2025高考数学一轮课时作业第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积及平面向量的应用（附解析）

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1. 设，为非零向量，则“存在负数 ，使得”是“”的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：充分性显然成立，但必要性不成立，如当 与 不共线时.故选.
2. 已知向量，，，，则（ A ）
A. 1B. C. 4D.
解：因为，
所以.
故选.
3. 已知向量，满足，，，则（ B ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
解：因为，所以.又，，所以，即，解得.故选.
4. 【多选题】 已知，，则下列结论正确的是（ AC ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 在方向上的投影向量是
解：易知.
则，所以，故 正确.
，所以，故 错误.
,.因为,，所以,，故 正确.
在 方向上的投影向量是，故 错误.故选.
5. 已知向量，满足，，则 .
解：，所以.因为，所以，即.
则.所以.故填解：.
6. （教材题改编）已知单位向量,的夹角为 ，与垂直，则 .
解：.与 垂直，则，得故填.
7. 在中，，，，，则 .
解：依题意，可作图如下.
因为,,所以.
所以.故填.
8. 已知向量,，点在轴上.
（1） 求使最小时点的坐标；
解：设点 的坐标为，
可得,.
所以.
当 时，取得最小值，此时.
（2） 若为钝角，求点的横坐标的取值范围.
[答案]
若 为钝角，则有，且,不共线.
设，则,,
则，解得.
由，共线，可得，解得.则点 的横坐标的取值范围是,,.
【综合运用】
9. [2023年全国甲卷]向量,，且，则,（ D ）
A. B. C. D.
解：因为,所以,即,即,所以.
（方法一）令，，则，满足题意.则，，故,.
（方法二）如图,设,,.由题,知,,是等腰直角三角形,则 边上的高,,所以.
,,
所以,.故选.
10. 在中,“”是“为等腰三角形”的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：设 为 的中点，如图.
因为，所以.
所以,即.
所以，为等腰三角形.
但 是等腰三角形不一定得到，也可能是 或者.
故选.
11. [2021年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知为坐标原点，点，，，，则（ AC ）
A. B.
C. D.
解：此题从“数”的角度，结合向量运算、恒等变换等知识可解，但计算量不小，故结合各点参数形式坐标，从“形”入手：把各点标记在如图的单位圆上，注意其中 与 可变 显然正确 显然不正确 正确，因为等式两边向量的模相等且夹角相等 不正确，图中 为钝角，等式左正右负.故选.
12. [2021年新课标Ⅱ卷]已知向量，，， .
解:由已知可得，因此，.故填.
【拓广探索】
13. [2022年上海卷]在中， ，，为边的中点，点在边上，则的最小值为 .
解：建立平面直角坐标系如图所示，则，，.直线 的方程为，即.点 在直线 上，设.所以，.所以.所以 的最小值为.故填.