2025高考数学一轮课时作业第五章平面向量与复数5.4复数（附解析）

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1. 【多选题】下列命题不正确的是（ BCD ）
A. 若，则当且仅当,时，为纯虚数
B. 若，则
C.
D.
解：显然正确.
对于，当,,时满足条件，而结论不成立.
对于，只有当,时命题才正确.
对于，两个虚数不能比较大小，命题不正确.故选.
2. [2023年北京卷]在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ D ）
A. B. C. D.
解：由复数的几何意义，知，则.故选.
3. [2023年全国甲卷] （ C ）
A. B. 1C. D.
解：.故选.
4. [2023年全国甲卷]设,,则（ C ）
A. B. 0C. 1D. 2
解：因为，所以 解得.故选.
5. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ C ）
A. B.
C. D.
解：由题意,知,则，，则.故选.
6. 已知复数，且在复平面内对应的点在第四象限，写出的一个整数值为0（答案不唯一）.
解：因为，
所以复数 在复平面内对应的点为，，则 解得.
又 为整数，所以 可取，，，0，1，2，3.
故填0（答案不唯一）.
7. 已知复数是方程的一个根，则2.
解：，则.或.故填2.
8. 已知复数，，，.
（1） 若复数为纯虚数，求的值；
解：为纯虚数，所以 解得.
所以，，所以.
（2） 若，求的值.
[答案]
，设.因为，从而,即,所以，解得 或.
当 时，，；
当 时，，.
【综合运用】
9. 下列与复数相等的是（ B ）
A. B.
C. D.
解：，故,,错误.
而，故 正确.
故选.
10. 已知复数，若，则（ C ）
A. B. 2C. D. 3
解：因为，所以.
所以.所以 故，因此.故选.
11. 【多选题】[2024年九省联考]已知复数,均不为0，则（ BCD ）
A. B. C. D.
解：设,，.
对于，，
是实数，故 错误.
对于，.又，所以，故 正确.
对于，，则.又，所以，故 正确.
对于，
，
，
所以，故 正确.
故选.
12. 已知，则 .
解：（方法一）由复数几何意义结合题中等式，可知原点、对应的点、对应的点构成等边三角形.从而易得.
（方法二）设 , ,
则
，
则,
所以
.
故填.
【拓广探索】
13. 【多选题】公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）称为欧拉公式，依据该公式，下列结论中正确的是 （ ABD ）
A. 复数为纯虚数
B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点集图象是半圆
解：对于，，所以 为纯虚数，故 正确.
对于，，因为 ，所以，，所以复数 对应的点位于第二象限，故 正确.
对于，，复数 的共轭复数为，故 错误.
对于， ，，
由于，所以,，
故复数 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆,正确.
故选.