2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章　平面向量、复数 5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用

这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章　平面向量、复数 5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用，共50页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，∠AOB，直线l，x1x2+y1y2，常用结论，考点自诊，答案D等内容，欢迎下载使用。
1.两个向量的夹角给定两个　　　　向量a,b,在平面内　　　　一点O,作 ,则称　　　　内的　　　　为向量a与向量b的夹角,记作. 温馨提示(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的,并且0≤≤π,=.(2)几个特殊情况:=0,此时向量a与b共线且方向相同;=π,此时向量a与b共线且方向相反;= ,此时称向量a与向量b垂直,记作a⊥b.
2.向量数量积的定义一般地,当a与b都是　　　　向量时,称　　　　　　　　　　为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即　　　　　　　　　　　　　. 温馨提示(1)由定义可知,两个非零向量的数量积是一个实数.规定:零向量与任何向量的数量积为0.(2)a·b的符号由cs的符号决定,从而也就是由的大小决定.两个非零向量的数量积可以是正数,也可以是负数,还可以是零.(3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0,即a⊥b⇔a·b=0.
|a||b|cs
a·b=|a||b|cs
3.向量数量积的性质(1)|a·b|≤|a||b|;
4.向量的投影(1)向量在直线上的投影非零向量 =a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量　　　　为向量a在直线l上的投影向量或投影. (2)向量在向量上的投影给定平面上的一个　　　　向量b,设b所在的直线为l,则a在　　　　上的投影称为a在向量b上的投影. (3)投影的数量一般地,如果a,b都是非零向量,则称　　　　　　　为向量a在向量b上的投影的数量. 
|a|cs
5.向量数量积的几何意义由a·b=|a||b|cs=(|a|cs)|b|可知,向量数量积的几何意义为:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.6.向量数量积的运算律
7.向量数量积的坐标表示(1)两向量的数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=　　　　　　. (2)平面向量长度(模)的坐标表示①若a=(x,y),则|a|=　　　　　　; 
(3)平面向量夹角的坐标表示设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(4)两向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔　　　　　　. 
x1x2+y1y2=0
8.向量在平面几何中的应用
1.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
2.与向量a=(x,y)垂直的单位向量的坐标易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,所以与a垂直的单位向量b0的坐标为 ,其中正、负号表示不同的方向.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为实数,且有正有负.(　　)(2)若a·b=0,则必有a⊥b.(　　)(3)(a·b)·c=a·(b·c).(　　)(4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(　　)
2.已知向量a,b满足a·(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为(　　)
3.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模考)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则正确的有(　　)A.a·b=5D.a与b平行
A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)
答案 (1)-1　(2)A　解析 (1)∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,
解题心得1.求两个向量的数量积的方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cs θ(其中θ是向量a与b的夹角).(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加、减、数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
考向1　求平面向量的模【例2】 (1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a-2b),则|2a+b|的值是　　　　. 
考向2　求平面向量的夹角
答案 (1)D　(2)B　解析 (1)∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,(2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.
考向3　平面向量的垂直【例4】 (1)(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　　. 
解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.3.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
对点训练2(1)(2020福建厦门一模)已知a=(1,1),b=(2,m),a⊥(a-b),则|b|=(　　)A.0B.1C. D.2(2)(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　　. 
答案 (1)D　(2)5　解析 (1)由题意知a-b=(-1,1-m),∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=-1+1-m=0,∴m=0,∴b=(2,0),∴|b|=2.故选D.(2)由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.
考向1　平面向量在三角函数中的应用【例5】 已知向量a=(cs x,sin x),b=(3,- ),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解题心得向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.
考向2　平面向量在平面几何中的应用【例6】 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD= AB;(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示). 
(1)证明 以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
解题心得用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
对点训练4△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是边BC的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
考向3　平面向量在物理中的应用【例7】 在风速为 km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
解 设ω为风速,va为有风时飞机的航行速度,vb为无风时飞机的航行速度,则vb=va-ω.显然有vb,va,ω构成三角形.
解题心得利用向量法解决物理问题时,要认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的向量关系,通过抽象、概括把物理现象转化为与之相关的向量问题.
对点训练5已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g=10 m/s2)