2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用，共8页。试卷主要包含了在△ABC中,,M是BC的中点，设a与b+c的夹角为θ,则等内容，欢迎下载使用。
1.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=,则=( )
A.-1B.1C.D.2
2.在△ABC中,若()·=0,则△ABC是( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
3.已知向量a=(-2,m),b=(1,-2),c=(m+1,5),若a⊥b,则a与b+c的夹角为( )
A.B.
C.D.
4.已知向量a=(1,2),A(6,4),B(4,3),b为向量在向量a上的投影,则|b|=( )
A.B.1C.D.4
5.在△ABC中,若=(1,2),=(-x,2x)(x>0),则当BC最小时,∠ACB=( )
A.90°B.60°C.45°D.30°
6.(多选)已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m0,当x=时,ymin=,此时BC最小,
=,=0,
,即∠ACB=90°,故选A.
6.AC 将a=(1,2),b=(m,1)代入b·(a+b)=3,得(m,1)·(1+m,3)=3,得m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍去),所以b=(-1,1),所以|b|=,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=(-1,4),1×4-(-1)×5=9≠0,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a-b与a-2b的夹角为θ,因为2a-b=(3,3),a-2b=(3,0),所以csθ=,所以θ=,故C正确;向量a在向量b上的投影的数量的绝对值为=,故D错误.故选AC.
7.BD 由于△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3+4+5=0,
所以3+4=-5,两边平方并化简得25+24=25,解得=0;
3+5=-4,两边平方并化简得34+30=16,解得=-;
4+5=-3,两边平方并化简得41+40=9,解得=-
所以∠BOC≠90°,故A错误;∠AOB=90°,故B正确;
()=,故C错误;
()==---=-,故D正确.故选BD.
8.8 =3,=3(),化简得
同理可得=-
∵∠C=,=0,
()===8.
9 - 设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则
|a-2b|=,
将|a|=1,|b|=代入上式,化简可得,解得csθ=-θ∈[0,π],∴θ=,即a与b的夹角为根据向量投影的定义可得,a在b上的投影的数量为|a|csθ=-
10.解 (1)设向量+2与向量2的夹角为θ,则csθ=,
令||=||=a,则csθ=
(2)∵||=||=,∴||=1.
设||=x(0≤x≤1),
则||=1-x.而=2,
()=2=2||·||csπ=2x2-2x=2x-2-
∴当x=时,取得最小值,最小值是-
11.解 (1)b+c=(csβ-1,sinβ),
则|b+c|2=(csβ-1)2+sin2β=2(1-csβ).
因为-1≤csβ≤1,
所以0≤|b+c|2≤4,
即0≤|b+c|≤2.
当csβ=-1时,有|b+c|=2,
所以向量b+c的模的最大值为2.
(2)若α=,则a=.
又由b=(csβ,sinβ),c=(-1,0)得
a·(b+c)=·(csβ-1,sinβ)=csβ+sinβ-
因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,
即csβ+sinβ=1,所以sinβ=1-csβ,
平方后化简得csβ(csβ-1)=0,
解得csβ=0或csβ=1.
经检验csβ=0或csβ=1即为所求.
12.BC 由题可知,=λ2+2λe1·e2+1=+1-1-e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为,的最小值为,则1-,解得cs=±,∴e1与e2的夹角为,∴|e1+e2|2=1+2e1·e2+1=2±2=1或3,∴|e1+e2|=1或故选BC.
13.AC 对于A,设D为BC的中点,由于=-()=-2,所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),所以O为△ABC的重心,故A正确;
对于B,向量分别表示与方向相同的单位向量,设为,则它们的差是向量,则当=0,即时,点O在∠BAC的平分线上,同理由=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内心,故B错误;
对于C,是以OA,OB为邻边的平行四边形的一条对角线,而AB是该平行四边形的另一条对角线,()=0表示这个平行四边形是菱形,即OA=OB,同理有OB=OC,于是O为△ABC的外心,故C正确;
对于D,由=0,
()=0,即=0,同理可证
∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即O是△ABC的垂心,故D错误.故选AC.
14.C 联立消y可得2x2+2mx+m2-1=0.由题意知Δ=-2m2+8>0,解得-