专题2-1实数（考题猜想，实数大小比较的九种题型方法）（人教版）（原卷版+解析版）

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专题2-1实数（考题猜想，实数大小比较的九种题型方法）方法1：比较绝对值法【方法点拨】比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，再根据绝对值大的反而小求解即可．【例题1】（23-24七年级下·全国·假期作业）比较与的大小．【答案】【详解】解：，而【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）比较与的大小．【答案】【详解】解：【变式2】（2023九年级·全国·专题练习）比较与的大小．【答案】【分析】比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，再根据绝对值大的反而小求解即可．【详解】∵，，∵，∴，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，∴．【点睛】本题考查无理数比较大小，熟练掌握负数的大小比较方法是解决本题的关键．【变式3】（21-22八年级上·河北邢台·期中）比较大小：﹣和﹣．【答案】＞【分析】两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．【详解】解：∵，，，，而，∴＞．【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．方法2：开方法【方法点拨】对于一些简单的含根号的数字，有时可以直接把数化入到根号里面，然后比较根号内数字的大小即可。【例题2】（22-23七年级上·全国·单元测试）比较大小：(1)与7；(2)与1．【答案】(1)(2)【分析】（1）因为，，因为，所以即可得到与7的大小关系；（2）与1两种同时扩大2倍，即与2，然后都加上1，即与3，因为，且，所以即可得到与1的大小关系．【详解】（1）解：∵，，且，∴；（2）解：∵，且，∴，，即，那么，则．【点睛】本题主要考查的是比较实数的大小等知识内容，学会灵活对式子的整理是解题的关键．【变式1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）比较下列各组数的大小．(1)和；(2)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，，得出，即可得出答案；（2）根据，，得出，即可得出答案．【详解】（1）解：∵，，∴，即；（2）解：∵，，∴，即．【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）比较下列各组数的大小．(1)和和；(2)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据算术平方根与立方根的定义可得，，进而即可求解；（2）先估算的大小，进而即可求解．【详解】（1），，，，．（2），，．【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．【变式3】（21-22八年级上·全国·课时练习）比较下列各组数中两个数的大小．（1）和；      （2）和．【答案】（1）；（2）【分析】通过比较被开方数来比较二次根式的大小．【详解】（1）∵∴，即（2）∵∵∴，即．【点睛】本题考查二次根式比较大小的知识，熟练求解二次根式的被开方数是解题的关键．方法3：平方法【方法点拨】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a>0，b>0 时，可由得到 a>b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。【例题3】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）比较大小（要有具体过程）：和；【答案】(1)【分析】两边同平方即可比较大小；【详解】解：，， ， ；【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握“平方法”或“作差法”及“作商法”等常见的比较大小的方法是解本题的关键．【变式1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）比较大小： 与 ；【答案】；【分析】比较 与 的平方的大小即可；【详解】解：，，；【点睛】此题考查了比较实数的大小，熟练掌握比较两个实数大小的方法是解答此题的关键．【变式2】（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大小．（1）比较两个数平方的大小即可求解；（2）比较两个数平方的大小即可求解．【详解】（1）∵，，，∴；（2）∵，，，∴．方法4：立方法【例题4】（22-23七年级下·全国·课时练习）比较与2.3的大小．【答案】【详解】因为，，而10＜12.167，所以．【变式1】（20-21七年级下·全国·课时练习）比较下列各组数的大小：（1）与2.5；（2）与．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出，再比较即可；（2）先求出，再比较即可．【详解】解：（1），9＜15.625，，，（2），，，．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能灵活运用立方根的定义进行变形是解此题的关键．【变式2】（21-22八年级上·河南南阳·期中）比较下列数的大小错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】A、B、D利用幂的乘方进行变形然后比较大小，C选项复数比较大小，绝对值大的反而小判定即可；【详解】解A. ∵27＞25∴＜，故A正确B. ∵121＜125∴＜，故B错误C. ∵＜∴，故C正确D. ∵7＜8∴，故D正确故答案选B【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用幂的乘方对不等号两边进行变形比较大小是解题的关键．【变式3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）比较大小： ．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】先利用同时立方法得到：，，再利用同时平方法得到：，，根据和的大小关系即可确定和的大小关系．【详解】解：，；，；∵，∴故答案为：【点睛】本题考查实数比大小，掌握常见的实数比大小的方法是解决本题的关键．方法5：取近似值法【方法点拨】估算法的基本是思路是设 a,b为任意两个正实数，先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。【例题5】（2023九年级·全国·专题练习）比较与的大小．【答案】【分析】先求出无理数的近似值，再比较两个数的大小．【详解】解：∵， ∴．又∵，∴．【点睛】题目主要考查无理数的估算及大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．【变式1】（21-22八年级上·福建三明·期中）下列数的大小比较中，不正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，，再结合不等式的性质可判断A，B，再利用近似值可判断C，D，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，故A不符合题意；∵，∴，∴，故B符合题意；∵，∴，故C不符合题意；而正确，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较的方法是解本题的关键．【变式2】（22-23七年级下·湖北恩施·期中）下列说法正确的有（    ）个①的平方根是       ②负数没有立方根③大小比较：        ④是5的平方根A．1 B．2 C．3 D．4．【答案】B【分析】利用平方根、立方根的定义与性质，实数大小的比较逐项进行判断即可．【详解】解：A、，则其的平方根是，故说法不正确；B、任何一个实数都有立方根，正数的立方根为正，零的立方根为零，负数的立方根为负，故说法不正确；C、，则，故说法正确；D、是5的平方根，说法正确；故正确的说法有两个，故选：B．【点睛】本题考查了平方根、立方根的概念与性质，实数大小的比较，掌握这些知识是关键．【变式3】（21-22七年级上·北京平谷·期末）下列实数比较大小正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数比较大小的法则对各选项进行比较即可．【详解】解：A、1>-4，故本选项错误；B、-10000 时，得a>b。当 a-b