2020-2021学年第六章 实数综合与测试学案及答案

第10课  实数全章复习与巩固

知识点01  平方根和立方根

知识点02  实数

有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

注意：

（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统

称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：

①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；        

③有特定结构的数，如0.1010010001…

（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

（4）实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点一 一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

考法01   平方根与算数平方根的定义

【典例1】下列说法错误的是　　

A．5是25的算术平方根 B．1的立方根是

C．没有平方根 D．0的平方根与算术平方根都是0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据算术平方根和平方根及立方根的定义逐一求解可得．

【详解】

解：是25的算术平方根，此选项说法正确；

B.1的立方根是1，此选项说法错误；

C.没有平方根，此选项说法正确；

D.0的平方根与算术平方根都是0，此选项说法正确；

故选B．

【点睛】

本题主要考查立方根、平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根及立方根的定义．

【即学即练】16的平方根是_________，算术平方根是__________.

【答案】     ±4     4

【解析】

【详解】

∵42=16，(−4)2=16，

∴16的平方根为±4；

算术平方根为4.

故答案为±4，4.

【即学即练】若的平方根是±4，则a＝___．

【答案】256

【解析】

【分析】

根据平方根与算术平方根的定义即可求解．

【详解】

解：∵的平方根是±4，

∴，

∴，

故答案为：256．

【点睛】

此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根与算术平方根的定义：如果，那么就叫做b的平方根，如果对于两个正数有，则a是b的算术平方根．

【即学即练】（1）的平方根是________；

（2）的平方根是________，算术平方根是________；

（3）的平方根是________，算术平方根是________；

（4）的平方根是________，算术平方根是________．

【答案】               5                   

【解析】

【分析】

分别利用平方根、算术平方根的定义计算即可．

平方根的定义：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根；

算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．

【详解】

（1）的平方根是________；

（2）的平方根是________，算术平方根是____5____；

（3）的平方根是________，算术平方根是_____；

（4）的平方根是____，算术平方根是___．

故答案为： （1）；（2），5（3），；（4），

【点睛】

本题主要考查了平方根、算术平方根的定义，解题注意：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．

【即学即练】填空：

（1）一个数的平方等于它本身，这个数是________；一个数的平方根等于它本身，这个数是________；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是________．

（2）一个数的立方等于它本身，这个数是________；一个数的立方根等于它本身，这个数是________．

【答案】     0或1     0     0或1     0或     0或

【解析】

【分析】

平方表示两个相同因数的相乘；平方根，又叫二次方根，一个正数有两个实数平方根，它们互为相反数，负数没有平方根；正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根；

立方表示指数为3的乘方运算即表示三个相同数的乘积；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根．也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．

根据特殊数的平方、平方根、算术平方根、立方、立方根，对各空填写即可．

【详解】

解：（1）一个数的平方等于它本身，这个数是0或1；

一个数的平方根等于它本身，这个数是0；

一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1；

（2）一个数的立方等于它本身，这个数是0或；

一个数的立方根等于它本身，这个数是0或．

故答案为：0，1；0；0或1；0或；0或．

【点睛】

本题是对平方，平方根，算术平方根，立方根的考查，熟记一些特殊数的性质是解题的关键．

考法02  平方根的性质

【典例2】已知一个正数的平方根是3x－2和-5x＋6，则这个数是____

【答案】16

【解析】

【分析】

根据平方根的概念可得，然后求解即可．

【详解】

解：∵一个正数的平方根是3x－2和-5x＋6，

∴，

解得：，

∴这个数是；

故答案为16．

【点睛】

本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键．

【即学即练】若2a+1和a﹣7是数m的平方根，则m的值为___．

【答案】25或225

【解析】

【分析】

由题意易知2a+1+a-7=0，然后求解a的值，进而问题可求解．

【详解】

解：∵2a+1和a﹣7是数m的平方根，

∴2a+1+a-7=0或2a+1=a-7，

解得：a=2或a=-8，

∴或 m=225；

故答案为25或225．

【点睛】

本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键．

【即学即练】若4a＋1的平方根是±5，则的算术平方根是_________．

【答案】6

【解析】

【详解】略

考法03  算数平方根的性质

【典例3】|x+2|++（2y﹣8）2＝0，则x+y+z＝_____．

【答案】3

【解析】

【分析】

由绝对值与算术平方根、平方的非负性解得x=-2，z=1，y=4，即可计算x+y+z的值．

【详解】

解：根据题意得，

x+2=0，=0，2y﹣8=0

解得x=-2，z=1，y=4，

所以x+y+z=-2+4+1=3

故答案为：3．

【点睛】

本题考查实数的混合运算，涉及绝对值与算术平方根、平方的非负性，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

【典例4】被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大_________倍．

【答案】10

【解析】

略

考法04  解方程

【典例5】解方程：

【答案】

【解析】

【分析】

根据平方根的定义解方程即可．

【详解】

【点睛】

本题考查了根据平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．

【即学即练】求方程中x 的值（x﹣1）2 ﹣16 = 0

【答案】或

【解析】

【分析】

根据平方根的定义解方程即可，平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数)

【详解】

解：（x﹣1）2 ﹣16 = 0

或

解得或

【点睛】

本题考查了根据平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．

【即学即练】求下列式子中的x值：4（1+x）2＝49．

【答案】或．

【解析】

【分析】

利用平方根解方程即可得．

【详解】

解：，

，

或，

或．

【点睛】

本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题关键．

考法05  立方根

【典例6】（1）一般地，如果___________，那么这个数叫做a的立方根或___________；数a的立方根记为___________：在“”中，a是___________，3是___________；

（2）正数的立方根是___________；负数的立方根是___________；0的立方根是___________．___________都有立方根．

【答案】     （1）一个数的立方等于a，     三次方根，     ，     被开方数，     根指数；     （2）正数，     负数，     0；     任何一个数

【解析】

【分析】

根据立方根的概念可得答案．

【详解】

⑴一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根；数a的立方根记为：在中，a是被开方数，3是根指数；

⑵正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．任何一个数都有立方根．

故答案为：①一个数的立方等于a， ②三次方根，③，④被开方数，⑤根指数；⑥正数，⑦负数， ⑧0，⑨任何一个数．

【点睛】

本题考察了立方根的概念，牢记概念填空即可．

【即学即练】计算：______．

【答案】-5

【解析】

【分析】

由题意直接根据立方根的性质即可进行分析求值.

【详解】

解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查立方根求值，熟练掌握立方根的性质是解题的关键.

【即学即练】计算：（1）______；   （2）_______；   （3）_______；（4）______；       （5）______；   （6）______；（7）______．

【答案】     3                    30          2.3

【解析】

【分析】

（1）直接利用立方根的定义即可求解；

（2）直接利用立方根的定义即可求解；

（3）直接利用立方根的定义即可求解；

（4）直接利用立方根的定义即可求解；

（5）直接利用立方根的定义即可求解；

（6）利用算术平方根和立方根的定义即可求解；

（7）利用算术平方根和立方根的定义即可求解．

【详解】

解：（1）∵，

∴；

（2）∵，

∴；

（3）∵，

∴，即；

（4）

∵，

∴，即；

（5），

∵，

∴；

（6）；

（7）．

故答案为：3，，，，30，，2.3．

【点睛】

本题考查立方根和算术平方根．熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．

【典例7】已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝________．

【答案】﹣3780

【解析】

【分析】

由题意依据当被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为15.58是1.558的小数点向右移动了1位，由此求出y．

【详解】

解：∵≈1.558，≈﹣15.58，

∴y＝﹣3780．

故答案为：﹣3780．

【点睛】

本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．

【即学即练】；；；；；______，_______．

【答案】     5.848，     12.60

【解析】

【分析】

根据被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位，据此可得答案．

【详解】

解：∵，

∴；

∵，

∴，

故答案为：5.848，12.60．

【点睛】

本题主要考查立方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位．

【典例8】求下列各式中的值：

；

【答案】；

【解析】

【分析】

把原方程化为，再利用立方根的含义解方程即可；

【详解】

解：

解得：

【点睛】

本题考查的是利用立方根的含义与平方根的含义解方程，掌握“立方根与平方根的含义”是解本题的关键.

【即学即练】求下列各式中的x的值．

【答案】

【解析】

【分析】

根据立方根解方程即可．

【点睛】

本题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．

【即学即练】求下列各式中的x，

【答案】

【解析】

【分析】

方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值.

解：方程变形得：，

开立方得：1-2x＝−3，

解得：x＝2.

【点睛】

此题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

【即学即练】求下列各式中的：

【答案】x=-3．

【解析】

【分析】

先求得（x+1）3的值，然后依据立方根的定义列方程求解即可．

解：∵2（x+1）3=-16，

∴（x+1）3=-8．

∴x+1=-2，

解得x=-3．

【点睛】

本题主要考查的是立方根、平方根，熟记立方根及平方根的定义是解题的关键．

【即学即练】已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b-4的立方根是2，求3a-b的值．

【答案】18

【解析】

【分析】

利用平方根，立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．

【详解】

解：∵2a﹣1的算术平方根是3，3a+b-4的立方根是2，

∴2a-1=9，3a+b-4=8，

解得：a=5，b=-3，

∴3a-b=18．

【点睛】

此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

【即学即练】若与互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值．

【答案】

【解析】

【分析】

根据互为相反数的和为零，可得方程，再根据等式的性质变形．

【详解】

由题意可得：，即，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了相反数的概念以及立方根，利用互为相反数的和为零得出方程是解题关键．

【典例9】正方体的体积为，则它的棱长为________．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可．

【详解】

正方体的体积为

它的棱长为cm

故答案为：

【点睛】

本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键．

【即学即练】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．

（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h）

（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km）

【答案】（1）0.5h；（2）9.65km

【解析】

【分析】

（1）根据，其中d=6km是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案；

（2）根据，其中t=6h，是雷雨持续时间，开立方，可得答案；

【详解】

（1）．这场雷雨大约能持续0.5h．

（2）

【点睛】

本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．