高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课堂检测

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1.角25π12终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:A 25π12＝2π＋π12,π12是第一象限角,故25π12是第一象限角.
2.已知扇形的面积为3π8,半径是1,则扇形的圆心角是( )
A.3π16 B.3π8 C.3π4 D.3π2
解析:C 设扇形的圆心角是α,则3π8＝12α×12,解得α＝3π4.故选C.
3.集合{α｜kπ＋π4≤α≤kπ＋π2,k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析:C 当k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界);当k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).
4.把角-570°化为2kπ＋α(0≤α＜2π,k∈Z)的形式为( )
A.-3π-16π B.-4π＋150° C.-3kπ-30° D.-4π＋56π
解析:D 因为-570°＝-570×π180＝-19π6＝-2×2π＋56π,与56π的终边相同,所以把角-570°化为2kπ＋α(0≤α＜2π)的形式为-4π＋56π.
5.(多选)下列转化结果正确的是( )
A.67°30'化成弧度是3π8
B.-10π3化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是-7π6
D.π12化成角度是15°
解析:ABD 对于A,67°30'＝67.5×π180＝3π8,正确;对于B,-10π3＝-10π3×（180π）°＝-600°,正确;对于C,-150°＝-150×π180＝-5π6,错误;对于D,π12＝π12×（180π）°＝15°,正确.
6.(多选)下列表示中正确的是( )
A.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝kπ,k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为{α｜π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ,k∈Z}
C.终边在坐标轴上的角的集合是{α｜α＝kπ2,k∈Z}
D.终边在直线y＝x上的角的集合是{α｜α＝π4＋2kπ,k∈Z}
解析:ABC A,B显然正确;对于C,终边在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为{α｜α＝π2＋kπ,k∈Z},其并集为{α｜α＝kπ2,k∈Z},故C正确;对于D,终边在y＝x上的角的集合为{α｜α＝π4＋2kπ,k∈Z}或{α｜α＝5π4＋2kπ,k∈Z},其并集为{α｜α＝π4＋kπ,k∈Z},故D不正确.
7.-43π的角化为角度制的结果为 ;-135°的角化为弧度制的结果为 .
解析:-43π＝-4π3×（180π）°＝-240°;-135°＝-135×π180＝-34π.
答案:-240° -34π
8.一场数学科目考试需要两个小时,则时针走了 弧度.
解析:由于时针按顺时针方向转动,形成的角是负角,又由于时针转动一小时,转动的弧度数为-π6,因此时针转动两小时,走的弧度数为-π3.
答案:-π3
9.圆的半径变为原来的3倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
解析:设原来圆的半径为r,弧长为l,弧所对的圆心角为α(0＜α＜2π),则现在的圆的半径为3r,弧长为l,设弧所对的圆心角为β(0＜β＜2π),于是l＝αr＝β·3r,∴β＝13α.
答案:13
10.已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在区间[-4π,π]上找出与α终边相同的角.
解:(1)因为α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3,
所以角α与2π3的终边相同.
所以角α是第二象限角.
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋2π3,k∈Z,
所以由-4π≤2kπ＋2π3≤π,得-73≤k≤16.
因为k∈Z,所以k＝-2或k＝-1或k＝0.
故在区间[-4π,π]上与角α终边相同的角是-10π3,-4π3,2π3.
11.已知某机械采用齿轮传动,由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示),设主动轮M的直径为150 mm,从动轮N的直径为300 mm,若主动轮M顺时针旋转π2,则从动轮N逆时针旋转( )
A.π8 B.π4 C.π2 D.π
解析:B 设从动轮N逆时针旋转θ rad,由题意,知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等,所以1502×π2＝3002×θ,解得θ＝π4,故选B.
12.若角α与角x＋π4有相同的终边,角β与角x-π4有相同的终边,那么α与β间的关系为( )
A.α＋β＝0
B.α-β＝0
C.α＋β＝2kπ(k∈Z)
D.α-β＝2kπ＋π2(k∈Z)
解析:D 因为α＝x＋π4＋2k1π(k1∈Z),β＝x-π4＋2k2π(k2∈Z),所以α-β＝π2＋2(k1-k2)π(k1∈Z,k2∈Z).因为k1∈Z,k2∈Z,所以k1-k2∈Z.所以α-β＝π2＋2kπ(k∈Z).
13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为 .
解析:如图,设圆的半径为R,则正方形边长为2R,∴弧长l＝2R,∴α＝lR＝2RR＝2.
答案:2
14.已知一扇形的圆心角为α,所在圆的半径为R.
(1)若α＝π3,R＝6 cm,求该扇形的弧长l;
(2)若扇形的周长为12 cm,问当α多大时,该扇形有最大面积?并求出这个最大面积.
解:(1)l＝αR＝π3×6＝2π(cm),
即扇形的弧长为2π cm.
(2)依题意,得2R＋l＝12,则l＝12-2R,
扇形的面积S＝12lR＝12(12-2R)R＝-R2＋6R,
所以当R＝3 cm时,扇形面积S有最大值9.
此时弧长l＝6 cm,得α＝lR＝2,
即当α＝2时,该扇形面积最大,最大面积为9 cm2.
15.某学生在手工课上设计制作了一款树叶形状的书签(如图所示),该书签的边缘由两段圆弧组成,每段圆弧均为其所在圆周的四分之一,这两段圆弧关于直线AB对称.若AB＝10 cm,则该书签的面积为 cm2.
解析:由题知每段圆弧均为其所在圆周的四分之一,则每段圆弧所对的圆心角均为π2,且两圆弧所在圆的半径相等,设其为r,则r＝52 cm,所以书签的面积S＝2×14π×(52)2-12×(52)2＝25π-50(cm2).
答案:25π-50
16.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10 m,OB＝x(0＜x＜10),线段BA,CD,与弧BC,弧AD的长度之和为30 m,设圆心角为θ弧度.
(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.
解:(1)根据题意,可算得BC＝θx(m),
AD＝10θ(m).
因为AB＋CD＋BC＋AD＝30,所以2(10-x)＋θx＋10θ＝30,
所以θ＝2x+10x+10(0＜x＜10).
(2)根据题意,可知y＝S扇形AOD-S扇形BOC＝12θ(102-x2)＝12×2(x+5)(102-x2)x+10＝(x＋5)·(10-x)＝-x2＋5x＋50＝-（x-52）2＋2254,
当x＝52(m)时,ymax＝2254(m2).
综上所述,当x＝52 m时铭牌的截面面积最大,且最大面积为2254 m2.